Помогите решить задачу: Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса √159 прямые содержащие противолежащие стороны пересекаются в точках P и Q расстояния от этих точек до центра окружности соответственно равно 15 и 17 найди...

Лемма. Если из точки P к окружности проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках A и B, а вторая в точках C и D, то [latex]PA\cdot PB=PC\cdot PD[/latex]. Это легко следует из подобия по двум углам треугольников PBC и PDA. Решение исходной задачи. Обозначим центр окружности О, P - точка пересечение лучей AB и DC, Q - точка пересечения лучей BC и AD, PO=15, QO=17, радиус [latex]R=\sqrt{159}[/latex]. Пусть также М - точка пересечения окружностей описанных около треугольников BCP и DCQ. Тогда [latex]\angle PMC=180^\circ-\angle PBC=\angle ABC[/latex] [latex]\angle QMC=180^\circ-\angle QDC=\angle ADC[/latex] Следовательно [latex]\angle PMC+\angle QMC=\angle ABC+ \angle ADC=180^\circ[/latex], т.е. точка М лежит на отрезке PQ. Теперь если провести секущую из P через О, то по лемме получаем: [latex]PC\cdot PD=(PO+R)(PO-R)=PO^2-R^2=15^2-159=66[/latex]. А также [latex]PM\cdot PQ=PC\cdot PD=66.[/latex] Аналогично, если провести секущую из Q через О, то [latex]QC\cdot QB=(QO+R)(QO-R)=QO^2-R^2=17^2-159=130[/latex]. А также [latex]QM\cdot PQ=QC\cdot QD=130.[/latex] Таким образом, [latex]PM\cdot PQ+QM\cdot PQ=(PM+QM)PQ=PQ^2=66+130=196,[/latex] откуда PQ=14.