Помогите с алгеброй 50 баллов

Важно ! – чертёж в приложенном файле. 1) (I) Нули аргумента и функции: [latex] y = x^4 - 4 x^2 = x^2 ( x^2 - 4 ) = x^2 ( x - 2 ) ( x + 2 ) [/latex] ; Значит три точки, содержащие ноли: ( -2 ; 0 ) , ( 0 ; 0 ) , ( 2 ; 0 ) – принадлежат исследуемой функции. (II) Максимумы, минимумы, замирания, интервалы роста и убывания: [latex] y'_x = 4 x^3 - 8 x = 4 x ( x^2 - 2 ) = 4 x ( x - \sqrt{2} ) ( x + \sqrt{2} ) [/latex] ; Значит точки максимумов и минимумов, это: [latex] ( -\sqrt{2} ; -4 ) , ( 0 ; 0 ) , ( \sqrt{2} ; -4 ) [/latex] . Поскольку все корни производной нечётные, то замираний (нестрогой монотонности) тут нет. При этом, по знакам производной можно указать интервалы роста и убывания функции: [latex] y'_x < 0 [/latex] : : : на интервалах [latex] ( -\infty ; -\sqrt{2} )U( 0 ; \sqrt{2} ) [/latex] функция убывает. [latex] y'_x > 0 [/latex] : : : на интервалах [latex] ( -\sqrt{2} ; 0 )U( \sqrt{2} ; +\infty ) [/latex] функция растёт. (III) Область определения и область значений. [latex] D(f) = R [/latex] – опреледена везде ; Учитывая, что в минимумах [latex] y( -\sqrt{2} ) = y( \sqrt{2} ) = -4 [/latex], ясно, что область значений функции ограничена этим общим минимумом: [latex] E(f) = [ -4 ; +\infty ) [/latex] – даёт значения не меньше -4 ; (IV) Асимптоты и точки разрыва. Точек разрыва нет, а значит нет и вертикальных асимптот. На обеих бесконечностях производная имеет неограниченное значение, а значит нет и ни горизонтальных, ни наклонных асимптот. (V) Выпуклость и вогнутость: [latex] y''_x = 12 x^2 - 8 = 12 ( x^2 - \frac{2}{3} ) = 12 ( x - \sqrt{ \frac{2}{3} } ) ( x + \sqrt{ \frac{2}{3} } ) [/latex] ; Значит вторая производная отрицательна на [latex] x \in ( - \sqrt{ \frac{2}{3} } ; \sqrt{ \frac{2}{3} } ) [/latex] , и функция при этом выпукла. На всём остальном протяжении функция вогнута. Выпуклость функции продолжается между точками [latex] ( -\sqrt{ \frac{2}{3} } ; -2 \frac{2}{9} ) [/latex] и [latex] ( \sqrt{ \frac{2}{3} } ; -2 \frac{2}{9} ) [/latex] 2) При а = –4 уравнение y = –4 имеет 2 корня [latex] x_1=-\sqrt{2}, x_2= \sqrt{2} [/latex] ; При [latex] a \in ( -4 ; 0 ) [/latex] уравнение y=a имеет 4 корня ; При а = 0 уравнение y=0 имеет 3 корня [latex] x_1 = -2 , x_2 = 0 , x_3 = 2 [/latex] ; При a > 0 уравнение y=a имеет 2 корня ;