Пожалуйста, помогите, нужно очень срочно! Кто решит, хотя бы что-нибудь получит много баллов, а кто решит все еще и сверху.

Первая задача: WLOG пусть а >= b. Пусть a и b являются такими натуральными числами, что [latex](36a+b)(36b+a) = 2^{n}, n \in N[/latex] Тогда (1)[latex]36a + b = 2^{l}, l \in N[/latex] и (2)[latex]a+36b = 2^{m}, m \in N[/latex] так, что [latex]l+m = n[/latex] и [latex]2^{l} \geq 2^{m}[/latex] Разделим (1) на (2): [latex]\frac{36a+b}{a+36b} = 2^{l-m}, l-m \triangleq k, k \in Z[/latex] [latex]2^{k} = \frac{1+\frac{b}{36a}}{\frac{1}{36} + \frac{b}{a}}, c \triangleq \frac{b}{a}, c \notin Z[/latex] Так как a >= b, с <= 1: [latex]2^{k} = \frac{36}{1+36c} + \frac{c}{1+36c} = \frac{36+c}{1+36c}[/latex] [latex]\frac{36+c}{1+36c} = 2^{k} \in (1, 36)[/latex] Тогда [latex]2^{k} \in \{2^{1}, 2^{2}, 2^{3}, 2^{4}, 2^{5}\}[/latex] [latex]\frac{36+c}{1+36c} = 2^{k} \Rightarrow 36+c = 2^{k}(1+36c) \Rightarrow c = \frac{36-2^{k}}{2^{k}*36-1}[/latex] Соответственно [latex]c \in \{\frac{36-2}{2*36-1},\frac{36-4}{4*36-1},\frac{36-8}{8*36-1},\frac{36-16}{16*36-1},\frac{36-32}{32*36-1}\}[/latex] [latex]c \in \{\frac{34}{71},\frac{32}{143},\frac{28}{287},\frac{20}{575},\frac{4}{1151}\}[/latex] Решим в общем виде проблему для [latex]c = \frac{c_1}{c_2} = \frac{b}{a}[/latex]: [latex]b = \frac{c_1}{c_2}*a \Rightarrow a = c_{2}*d \Rightarrow b = c_{1}*d[/latex] Так как 36a+b является степенью двойки: [latex](36c_{2}+c_{1})*d = 2^{l} \Rightarrow d = 2^{h}, 36c_{2}+c_{1} = 2^{q}[/latex] Аналогично [latex](c_{2}+36c_{1})*d = 2^{m} \Rightarrow c_{2}+36c_{1} = 2^{r}[/latex] Остается проверить для всех с, соблюдаются ли эти два условия. [latex]c = \frac{34}{71} \rightarrow 34*36 + 71 = 1295 \neq 2^{g}, g \in Z[/latex] [latex]c = \frac{32}{143}\rightarrow 32*36 + 143 = 1295 \neq 2^{g}, g \in Z[/latex] [latex]c = \frac{28}{287} \rightarrow 28*36 + 287 = 1295 \neq 2^{g}, g \in Z[/latex] [latex]c = \frac{20}{575} \rightarrow 20*36 + 575 = 1295 \neq 2^{g}, g \in Z[/latex] [latex]c = \frac{4}{1151} \rightarrow 4*36 + 1151 = 1295 \neq 2^{g}, g \in Z[/latex] Так как нет таких c, которые бы удовлетворяли условия (1) и (2), то нет таких натуральных a,b, что [latex](36a+b)(36b+a) = 2^{n}, n \in N[/latex]