Пожалуйста, помогите!Найти момент инерции шарового слоя малой толщины b меньше меньше R, где R-средний радиус слоя. Масса шарового слоя равна m

Считаем, что шаровой слой =  разности двух шаров с радиусами r1 = r + b/2 и r2 = r - b/2 и плотностью, равной плотности шарового слоя. 1. Объём [latex]V=\dfrac43\pi(r_1^3-r_2^3)[/latex] 2. Плотность [latex]\rho=\dfrac mV[/latex] 3. Массы шариков [latex]m_1=\dfrac43\pi\rho r_1^3;\quad m_2=\dfrac43\pi\rho r_2^3[/latex] 4. Момент инерции = разность моментов шариков [latex]I=\dfrac25(m_1r_1^2-m_2r_2^2)=\dfrac25\cdot\dfrac43\pi\rho(r_1^5-r_2^5)=\dfrac25m\dfrac{r_1^5-r_2^5}{r_1^3-r_2^3}[/latex] Осталось понять, как считать разности вида r1^n - r2^n. [latex]r_1^n-r_2^n=\left(r+\dfrac b2\right)^n-\left(r-\dfrac b2\right)^n\approx \left(r^n+\dfrac n2r^{n-1}b\right)-\left(r^n-\dfrac n2r^{n-1}b\right)\\ r_1^n-r_2^n\approx nr^{n-1}b[/latex] [latex]I=\dfrac25m\dfrac{r_1^5-r_2^5}{r_1^3-r_2^3}\approx\dfrac25m\dfrac{5r^4b}{3r^2b}=\dfrac23mr^2[/latex] В первом порядке I не зависит от b. Если надо, чтобы зависело (правда, непонятно, зачем) - учитывайте следующие члены в разложении по биному.