Представить число 12 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.(Решить с помощью производной)

[latex]x + y = 12, \ y = 12 - x[/latex] Наша задача максимизировать произведение [latex]f(x) = x(12 - x) = xy[/latex]. Производная [latex]f(x)[/latex] равна: [latex]f'(x) = (12x - x^2)' = 12 - 2x = 0,\\\\ -2x = -12, \ \boxed{x = 6, y = 6}[/latex] Это точка максимума, т.к. функция [latex]f(x) = 12 - 2x[/latex] принимает положительные значения при [latex]x \ \textless \ 6[/latex] и отрицательные при [latex]x \ \textgreater \ 6[/latex] ([latex]f(5) = 2, \ f(7) = -2[/latex]).