При каких значениях a, b и c уравнение 0,75x^2+(a+b+c)x+a^2+b^2+c^2=0 имеет один корень? Может ли это уравнение иметь 2 корня?

Распишем дискриминант: [latex]D= (a+b+c)^{2}-3 a^{2} -3b^{2}-3 c^{2} \\ D=2ab+2bc+2ac-2 a^{2} -2 b^{2} -2 c^{2} \\ D=-(a+c)^{2}-(a+b)^{2}-(b+c)^{2}[/latex] Если квадрат - неотрицательное число, то минус квадрат - неположительное число. Таким образом, D - сумма трех неположительных чисел -тоже неположителен. То есть либо D=0 (есть 1 корень), либо D<0 (корней нет). Если D=0, то: [latex]a+b=a+c=b+c=0.[/latex] Отсюда получаем, что [latex]a=b=c=0.[/latex] При любых других a,b,c уравнение не имеет корней вовсе.