При каких значениях а, уравнение имеет только целые корни. Аналитически. [latex](2a+1)x^2-ax+a-2=0[/latex]

1) При a = -1/2 уравнение имеет вид (1/2)х-(5/2)=0 х=5 - целый корень. 2) При а ≠ (-1/2) решаем квадратное уравнение (2a+1)x^2 -аx + a-2 = 0 D = (-а)² - 4·(2а+1)(а-2) =  - 7a²+12а+8 Если D≥0 уравнение имеет корни - 7a²+12а+8 ≥0 -7(a-a₁)(a-a₂) ≥0    или  (a-a₁)(a-a₂) ≤0 при  a₁≤a≤a₂ , где  а₁=(12-√368)/14=(6-√92)/7≈-0,51; а₂=(12+√368)/14=(6+√92)/7≈2,22  уравнение имеет корни x₁ = (а - √(- 7a²+12а+8)) / (4a+2) x₂ =  (а +√(- 7a²+12а+8)) / (4a+2) По условию оба эти корня должны быть целыми, то есть: дискриминант не может быть числом иррациональным. 1) D = (- 7a²+12а+8) должен быть квадратом. Если  построить график  u=-7а²+12а+8 на (-0,51;2,22), то u ∈ (0; 10,5)- множество значений дискриминанта. На интервале (0; 10,5) точные квадраты: 1; 4; 9 Решаем уравнения D=1      или    - 7a²+12а+8=1     D=4      или    - 7a²+12а+8=4 D=9      или    - 7a²+12а+8=9 Может быть можно проверить и дробно-рациональные квадраты? D=1,21 D=1,44 и т.д.   При а = 2 дискриминант будет точным квадратом  D = 4, уравнение принимает вид 5х²-2х=0 x₁=0 ; х₂=0,4 как видим, второй корень - рациональный. Ответ. при а=-1/2