При каких значениях k функция y = e^kx удовлетворяет условию 2y"' - 11y" + 19y' - 10y = 0 ?

Это еще не дифференциальное уравнение. Это задание на определение. Что называется решением дифференциального уравнения. Ответ. Функция, при подстановке в уравнение которой и её производных, получается верное равенство. Находим [latex]y`=e ^{kx} \cdot k, \\ y``=e ^{kx} \cdot k ^{2} , \\ y```=e ^{kx}\cdot k ^{3} [/latex] Подставим в уравнение: [latex]2(e ^{kx}\cdot k ^{3} )-11(e ^{kx}\cdot k ^{2})+19(e ^{kx}\cdot k)-10\cdot e ^{kx}=0, \\ e ^{kx} (2k ^{3} -11k ^{2} +19k-10)=0 [/latex] Первый множитель [latex]e ^{kx} >0[/latex] Приравниваем к нулю второй множитель и решаем уравнение: 2k³-11k²+19k-10=0 подставновкой убеждаемся, что k=1 является корнем этого уравнения: 2-11+19-10=0, 21-21=0-верно делим 2k³-11k²+19k-10  на k-1 получаем (2k²-9k+10)(k-1)=0, 2k²-9k+10=0, D=(-9)²-4·2·10=81-80=1 k=(9-1)/4=2    или    k=(9+1)/4=10/4=5/2 Ответ при k=1, k=2, k= 2,5

Для начала найти производную первого, второго и третьего порядка от функции у=е^kx, у'=ke^kx y''=k²(e^kx) y'''=k³(e^kx). Подставим саму функцию и её производные в уравнение, имеем: 2k³(e^kx)-11k²(e^kx)+19ke^kx-10e^kx=0 Вынесем e^kx за скобки: e^kx(2k³-11k²+19k-10)=0 e^kx=0 решений нет. 2k³-11k²+19k-10=0 Уравнение имеет три корня k1=1, k2=2,5 k3=2. Это ответ.