При каких значениях m вершины парабол y=x^2+4mx+2m и y=-x^2+2mx+4 расположены по одну сторону от оси х?

Чтобы вершины парабол y=x^2+4mx+2m и y=-x^2+2mx+4 были расположены по одну сторону от оси х должно выполняться условие: дискриминант одной из парабол должен быть больше нуля, а второй - меньше нуля. Рассмотрим дискриминант второй параболы: Д = в² - 4ас. Д₂ = 4m²-4*(-1)*4 = 4m²+16. Этот дискриминант положителен при любом значении m. Поэтому дискриминант первой параболы: Д₁ = 16m²-4*1*2m =16m²-8m  < 0. Графически - это часть параболы, расположенной ниже оси Х. Находим точки пересечения оси Х: 8m(2m-1) = 0. m = 0,   m = 1/2. Ответ: 0 < m < 1/2.