При каких значениях параметра a уравнение 5 sin x + 12 cosx=a имеет хотя бы один корень

  Удобно решать графический  [latex]y=a[/latex]  уравнение прямой [latex] f'(x) = 5sinx+12cosx\\ f'(x)=5cosx-12sinx\\\\ f'(x)=0\\\\ 5cosx=12sinx\\ tgx=\frac{5}{12}\\ x=arctg\frac{5}{12}[/latex]   откуда  минимальное и максимальное значение    [latex]f_{max}=13\\ f_{min}=-13[/latex] то есть  при   [latex] a \in [-13;13][/latex] имеет хотя бы один корень  

Применим метод вспомогательного аргумента: 5sinx+12cosx=a A^2+B^2=5^2+12^2=25+144=169 sqrt(A^2+B^2)=13 5/13*sinx+12/13*cosx=a/3 Заменим:  5/13=cosФ    12/13=sinФ Откуда sin(x+Ф)=a/13  хотя бы 1   решение будет когда,решения будут вообще,то есть когда     -1<=a/13<=1        -13<=a<=13 Ответ:    a∈ [-13,13]