При каких значениях параметра a уравнение (а + 1)x^2 +2ax + a + 1 = 0    имеет два действительных  корней?

это кв уравнение    D=4a^2-4(a+1)(a+1)>0  4a^2-4(a+1)^2>0 4a^2-4(a^2+2a+1)>0 -8a-4>0 -8a>4 a<-1/2  при а<-1/2 

Чтобы уравнение не выродилось в линейное нужно потребовать, чтобы а+1≠0 , а≠-1 (а+1)х²+2ах+(а+1)=0 Два различных действительных корня квадр. уравнение имеет, если D>0. D=(2a)²-4(a+1)²=4(a²-a²-2a-1)=4(-2a-1)>0 ,  -2a-1>0 , -2a>1 , a<-0,5 Учтём, что а≠-1 и уберём эту точку из интервала (-∞ ; -0,5). Ответ: а∈(-∞ ; -1)∨(-1; -0,5)