При каких значениях параметра a уравнение ax^2+2x+1 имеет два действительных корняv

(a - 1)x2 + 2x + a - 1 = 0имеет ровно один корень?  1. Решение. При a = 1 уравнение имеет вид 2x = 0 и, очевидно, имеет единственный корень x = 0. Если a № 1, то данное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к нулю, получаем уравнение относительно параметра a4a2 - 8a = 0,откуда a = 0 или a = 2.  1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a О {0; 1; 2}.  2. Задача. Найти все значения параметра a, при которых имеет два различных корня уравнениеx2+4ax+8a+3 = 0. 2. Решение. Уравнение x2+4ax+8a+3 = 0 имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D = 16a2-4(8a+3) > 0. Получаем (после сокращения на общий множитель 4) 4a2-8a-3 > 0, откуда a < 1 –Ц72 или    a > 1 +Ц72 2. Ответ: a О (-Ґ; 1 –Ц72 ) И (1 +Ц72 ; Ґ). 3. Задача. Известно, что f2(x) = 6x-x2-6. а) Постройте график функции f1(x) при a = 1. б) При каком значении a графики функций f1(x) и f2(x) имеют единственную общую точку?  3. Решение. 3.а. Преобразуем f1(x) следующим образом График этой функции при a = 1 изображен на рисунке справа.  3.б. Сразу отметим, что графики функций y = kx+b и y = ax2+bx+c (a № 0) пересекаются в единственной точке тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx+b = ax2+bx+c имеет единственный корень. Используя представление f1 из 3.а, приравняем дискриминант уравнения a = 6x-x2-6 к нулю. Из уравнения 36-24-4a = 0 получаем a = 3. Проделав то же самое с уравнением 2x-a = 6x-x2-6 найдем a = 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a = 2 или a= 3.  4. Задача. Найти все значения a, при которых множество решений неравенства x2-2ax-3a і 0 содержит отрезок [3;6].  4. Решение. Первая координата вершины параболы f(x) = x2-2ax-3a равна x0 = a. Из свойств квадратичной функции условие f(x)і 0 на отрезке [3;6] равносильно совокупности трех системм н оa Ј 3, f(3) = 9-9a і 0,м н о3 < a < 6, D = 4a2+12a Ј 0,м н оa і 6, f(6) = 36-15a і 0. Решением первой системы является множество (-Ґ,1]. Вторая и третья система решений не имеют.  4. Ответ: a О (-Ґ,1].  5. Задача (9 кл.) При каком наименьшем натуральном значении a уравнениеx2+2ax-3a+7 = 2x имеет ровно два решения?  5. Решение. Перепишем это уравнение в виде x2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. Это квадратное уравнение, оно имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля. Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней является выполнение неравенства a2+a-6 > 0. Решая неравенство, находим a < -3 или a > 2. Первое из неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим натуральным решением второго является число 3.  5. Ответ: 3.  6. Задача (10 кл.) Найти все значения a, при которых график функцииf(x) =x2+|ax+2|a-1 проходит через точку с координатами (-1;1).  6. Решение. Из условия f(-1) = 1 имеем уравнение 1 =1+|-a+2|a-1 ,или, после очевидных преобразований, a-2 = |2-a|. Последнее уравнение равносильно неравенству a і 2.  6. Ответ: a О [2;Ґ).  7. Задача (10 кл.) При каких значениях a сумма квадратов корней уравненияx2-2ax+a2-a = 0больше чем 12?  7. Решение. Дискриминант уравнения x2-2ax+a2-a = 0 равен 4a. Поэтому действительные корни этого уравнения существуют, если a і 0. Применяя к данному уравнению теорему Виета получаем x1+x2 = 2a и x1·x2 = a2-a. Отсюда x12+x22 = (x1+x2)2-2x1·x2 = 2a2+2a. Решениями неравенства 2a2+2a > 12, удовлетворяющими условию a і 0, являются числа a> 2.  7. Ответ: a > 2.