При каком наименьшем целом значении параметра а неравенство (a-1)x^2-2x-a больше 0 справедливо для любого x больше 3? (Желательно с объяснением)

[latex](a-1)x^2-2x-a\ \textgreater \ 0[/latex] Если [latex]a=1[/latex], то получим линейное неравенство: [latex]-2x-1\ \textgreater \ 0 \\\ x\ \textless \ - \frac{1}{2} [/latex] Полученный промежуток не включает в себя заданыый [latex]x\ \textgreater \ 3[/latex]. Рассматриваем случай, когда [latex]a \neq 1[/latex] - имеем квадратное неравенство. Заданное неравенство ">0", в зависимости от знака старшего коэффициента общие решения неравенства можно записать в виде:  - если старший коэффициент больше 0: [latex]x\in(-\infty;x_1)\cup(x_2;+\infty)[/latex]  - если старший коэффициент меньше 0: [latex]x\in (x_3;x_4)[/latex] Вывод: необходимо рассмотреть случай с положительным старшим коэффициентом: [latex]a-1\ \textgreater \ 0[/latex], тогда [latex]a\ \textgreater \ 1[/latex] Решаем неравенство. Приравниваем левую часть к нулю: [latex](a-1)x^2-2x-a=0 \\\ D_1=(-1)^2-(a-1)\cdot(-a)=a^2-a+1[/latex] Получившийся дискриминант всегда больше 0, т.к. [latex]a^2-a+1=a^2-2\cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} +1=(a- \frac{1}{2} )^2+ \frac{3}{4}\ \textgreater \ 0 [/latex] [latex]x= \frac{1\pm \sqrt{a^2-a+1} }{a-1} \\\ \Rightarrow x\in(-\infty; \frac{1-\sqrt{a^2-a+1} }{a-1} )\cup( \frac{1+\sqrt{a^2-a+1} }{a-1} ;+\infty)[/latex] Чтобы получившийся ответ включал интервал х>3, необходимо потребовать выполнение следующего условия: [latex] \frac{1+\sqrt{a^2-a+1} }{a-1} \leq 3 \\\ \frac{1+\sqrt{a^2-a+1} -3(a-1)}{a-1} \leq 0 \\\ \frac{4-3a+\sqrt{a^2-a+1} }{a-1} \leq 0[/latex] Так как в рассматриваемом случае [latex]a-1\ \textgreater \ 0[/latex], то можно перейти к следующему неравенству: [latex]4-3a+\sqrt{a^2-a+1} \leq 0 \\\ \sqrt{a^2-a+1} \leq 3a-4 \\\ \begin{cases} a^2-a+1 \leq (3a-4)^2 \\ 3a-4\ \textgreater \ 0 \right \end{cases} \\\ \begin{cases} a^2-a+1 \leq 9a^2-24a+16 \\ 3a\ \textgreater \ 4 \right \end{cases} \\\ \begin{cases} 8a^2-23a+15 \geq 0 \\ a\ \textgreater \ \frac{4}{3} \right \end{cases} \\\ \begin{cases} a\in(-\infty;1]\cup[ \frac{15}{8} ;+\infty) \\ a\ \textgreater \ \frac{4}{3} \right \end{cases}[/latex] Итоговое решение с учетом рассматриваемого ограничения [latex]a-1\ \textgreater \ 0[/latex]: [latex]a\in[ \frac{15}{8} ;+\infty) [/latex] Искомое минимальное целое значение [latex]a_{min; \in Z}=2[/latex] Ответ: 2