При каком отрицательном значении а уравнение    x^3-3x^2-a=0      имеет ровно два корня?  

[latex] x^3-3x^2-a=0[/latex]   Кубичеcкое уравнение имеет хотя бы два совпадающих корня, когда [latex]D = 0[/latex]   [latex]D = -4b^3d + b^2c^2 -4Ac^3 + 18Abcd - 27A^2d^2[/latex]   [latex]A = 1[/latex] (большая, что бы отличать от парметра [latex]a[/latex]), [latex]b = -3, c = 0, d =-a[/latex]     [latex]D = -4*27*a - 27a^2 = 0\\ 4a + a^2 = 0\\ a(4 +a) = 0\\[/latex]     [latex]a_1 = 0, a_2 = -4\\[/latex]   [latex]a = -4[/latex] (по условию [latex]a<0[/latex])      Проведём проверку: [latex] x^3-3x^2+4=0[/latex]    В глаза бросается очевидный корень уравнения [latex] x = -1[/latex]   [latex] (x+1)B = x^3-3x^2+4[/latex], если [latex]B[/latex] - вида [latex](x + c)^2[/latex] - разаличных корня ровно два.   [latex](x+1)(x^2-4x+4) = x^3-3x^2+4[/latex]   [latex](x+1)(x-2)^2 = x^3-3x^2+4 =>[/latex] разаличных корня ровно два.                

запишем для нашего уравнения теорему Виета x1+x2+x3=3 x1*x2+x2*x3+x1*x3=0 x1*x2*x3=-a   учтем, что по условию один корень уравнеия кратный. x1+2x2=3 x1*x2^2=-a x2^2+2x1*x2=0  x2*(x2+2x1)=0   x2=-2x1  подставляем в первое уравнение x1-4x1=-3  -3x1=3  x1=-1  x2=x3=2 X1*X2*X3=-4 т.е. уравнение имеет вид x^3-3x^2+4=0 a=-4