При каком условии интеграл [latex] \int\limits{ \frac{ax^2+bx+c}{x^3(x-1)^2} } \, dx [/latex] представляет собой рациональную функцию? Нужно как то доказать.

Положим [latex] \frac{nx^2+mx+v}{x^3} + \frac{ux+y}{(x-1)^2} = \frac{ax^2+bx+c}{x^3(x-1)^2} [/latex]   Открыв скобки , и приравняв соответствующие коэффициенты  [latex] n+u=0 \\ m-2n+y=0\\ -2m+n+v=a \\ m-2v=b \\ v=c [/latex]         [latex] m=2c+b \\ n= a+2b+3c \\ u=-a-2b-3c \\ v=c \\ y=2a+3b+4c [/latex]      [latex]\frac{(a+b*2+3c)*x^2+(2c+b)x+c}{x^3} + \frac{ (-a-2b-3c)x+2a+3b+4c}{(x-1)^2}[/latex]    По отдельности  [latex] \frac{a+2b+3c}{x} + \frac{2c+b}{x^2} + \frac{c}{x^3}[/latex] [latex] + \frac{ (-a-2b-3c)x+2a+3b+4c}{(x-1)^2}[/latex]  По свойству интеграла  [latex] \int\limit {(f(x)+f_{1} +...+(x) + f_{n}(x)} )dx =\int\limits{f_{1}(x)} \, dx+\int\limits { f_{2}(x)}dx+...+[/latex]  Получим   [latex]\frac{a+b+c}{1-x} - \frac{b+2c}{x} - \frac{c}{2x^2} + ln(1-x)(a+2b+3c) + lnx(a+2b+3c)+C[/latex]  Откуда следует  , для того чтобы функция была рациональной    [latex] 1) a+2b+3c=0 \\a+b+c\ \textgreater \ 0 \\ b+2c\ \textless \ 0\\ c\ \textless \ 0 \\\\ 2)a+2b+3c=0 \\ a+b+c\ \textless \ 0 \\b+2c\ \textgreater \ 0\\ c\ \textless \ 0 \\\\ 3) a+2b+3c=0\\a+b+c\ \textless \ 0 \\ b+2c\ \textgreater \ 0\\ c\ \textgreater \ 0 \\\\ [/latex]   Откуда решения       [latex] 1) \\ a\ \textgreater \ 0 \ \ ; b\ \textgreater \ -\frac{a}{2} \ \ ; c=\frac{-a-2b}{3} \\ a \leq 0 \ \ b\ \textgreater \ -2a \ \ ; c = \frac{-a-2b}{3}[/latex] [latex] 2) \\ a\ \textless \ 0 \ \ ; -\frac{a}{2}\ \textless \ b\ \textless \ -2a \ \ ; \ \ \ c = \frac{-a-2b}{3}[/latex]                                         [latex] 3) \\ a\ \textgreater \ 0 ; \ \ b\ \textless \ -2a ; \ \ c=\frac{-a-2b}{3} \\ a \leq 0 \ \ b\ \textless \ -\frac{a}{2} \ \ c=-\frac{-a-2b}{3}[/latex]