При яких значеннях а рівняння має 1) один корінь; 2) два корені.

напомню,что sinx изменяется от -1 до 1 [latex]sinx=t, \ \ -1 \leq t \leq 1 \\ \\ t^2-(a+ \frac{1}{2})t+ \frac{a}{2}=0 [/latex] по теореме Виета:  [latex] \left \{ {{t_1+t_2=a+ \frac{1}{2} } \atop {t_1*t_2= \frac{a}{2} }} \right. [/latex] значит:  [latex]t_1=a\\ t_2= \frac{1}{2} [/latex] (или найти корни можно через дискриминант) обратная замена: [latex]1) \ sinx=a[/latex] [latex]2) \ sinx= \frac{1}{2} \\ x= \frac{ \pi }{6}+2 \pi n, n \in Z \\ \\ x= \frac{ 5\pi }{6}+2 \pi n, n \in Z \\ \\ [/latex] Корень 5π/6 входит в данный промежуток: [latex][ \frac{ \pi }{2} ; \frac{ 5\pi }{4} ][/latex] Поэтому исходное уравнение уже имеет один корень на этом промежутке  по условию  [latex] \frac{ \pi }{2} \leq x \leq \frac{5 \pi }{4} [/latex] Значит: [latex]sin \frac{ \pi }{2} \geq sin x \geq sin\frac{5 \pi }{4} \\ \\ - \frac{ \sqrt{2} }{2} \leq sinx \leq 1[/latex] 1) чтобы уравнение имело один корень ( в нашем случае один корень есть всегда - это 5π/6) , нужно чтобы первое уравнение не имело корней или имело такие же корни, что и второе или имело корни не входящие в данный промежуток. sinx=a [latex]a \in (-\infty;- \frac{ \sqrt{2} }{2} ) \ U \ (1; + \infty) \ U \ \{ \frac{1}{2}\} [/latex] 2) в остальных случаях уравнение имеет два корня, то есть при [latex]a \in [- \frac{ \sqrt{2} }{2}; \frac{1}{2}) \ U \ ( \frac{1}{2};1][/latex] [latex]OTBET: \ 1)\ a \in (-\infty;- \frac{ \sqrt{2} }{2} ) \ U \ (1; + \infty) \ U \ \{ \frac{1}{2}\} \\ \\2)\ a \in [- \frac{ \sqrt{2} }{2}; \frac{1}{2}) \ U \ ( \frac{1}{2};1] [/latex]