Пример на доказательство.  Докажите, что если [latex]x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}[/latex], то [latex]x^2y^2z^2=1[/latex] либо [latex]x=y=z[/latex]    

x^2+1/x=y^2+1/y=z^2+1/z рассмотрим первое равенство перепишем его так yx^2+y-y^2x-x=0  или x(yx-1)-y(yx-1)=0 (x-y)(yx-1)=0 откуда получаем равенство х=y , поступая со вторым равенством аналогиично получим y=z, второе соотношение доказано. имеем равенство yx=1 так же получаем равенства zx=1 и yz=1 перемножив их получаем первое соотношение.