Прошууу помогите решить (sin2x-cos2x)^4+cos8x=11/4

[latex](sin2x-cos2x)^4+cos8x=\frac{11}4[/latex] [latex](cos2x-sin2x)^4+2cos^24x-1=\frac{11}4[/latex] [latex]cos^44x+2cos^24x=1+\frac{11}4[/latex] [latex]3cos^44x=\frac{15}4[/latex] [latex]cos^44x=\frac{5}4[/latex] [latex]cos4x=+-\sqrt[4]{\frac{5}4}[/latex] [latex]\left[\begin{array}{ccc}4x=+-arccos(\sqrt[4]{\frac{5}4})+2\pi n,n\in Z\\4x=\pi+-arccos(\sqrt[4]{\frac{5}4})+2\pi n,n\in Z\end{array}\right][/latex] Ответ: [latex]\left[\begin{array}{ccc}x=+-\frac{1}4arccos(\sqrt[4]{\frac{5}4})+\frac{\pi n}2,n\in Z\\x=\frac{\pi}4+-\frac{1}4arccos(\sqrt[4]{\frac{5}4})+\frac{\pi n}2,n\in Z\end{array}\right][/latex]

[latex](sin(2x)-cos(2x))^4+cos(8x)=\frac{11}{4}[/latex] используем [latex]A^4=A^{2*2}=(A^2)^2[/latex] [latex](sin^2(2x)-2sin(2x)cos(2x)+cos^2(2x))^2+cos(8x)=\frac{11}{4}[/latex] используем основное тригонометрическое тождество [latex]sin^2 A+cos^2 A=1[/latex] и формулу косинуса двойного угла [latex]cos(2A)=1-2sin^2 A[/latex] [latex](1-sin(2*2x))^2+1-2sin^2(8x:2)=\frac{11}{4}[/latex] упрощаем [latex](1-sin(4x))^2+1-2sin^2 (4x)=\frac{11}{4}[/latex] подносим к квадрату и переносим слагаемые из правой части в левую [latex]1^2-2*1*sin(4x)+sin^2(4x)+1-2sin^2(4x)-\frac{11}{4}=0[/latex] упрощаем [latex]-sin^2(4x)-2sin(4x)-\frac{3}{4}[/latex] множим на -1 (избавляемся от минуса перед квадратом синуса) [latex]sin^2(4x)+2sin(4x)+\frac{3}{4}=0[/latex] множим на 4 (избавляемся от знаменателя) [latex]4sin^2(4x)+8sin(4x)+3=0[/latex] вводим замену, учитывая ограниченность синуса по значениям [latex]sin(4x)=t; -1 \leq t \leq 1[/latex] получаем квадратное уравнение, решаем [latex]4t^2+8t+3=0[/latex] [latex]D=8^2-4*4*3=16=4^2[/latex] [latex]t_1=\frac{-8-4}{2*4}=-1.5<1[/latex] - не подходит [latex]t_2=\frac{-8+4}{2*4}=-0.5[/latex] возвращемся к замене [latex]sin(4x)=-0.5[/latex] [latex]4x=arcsin(-0.5)*(-1)^k+\pi*k[/latex] k є Z [latex]4x=-\frac{\pi}{6}*(-1)^k+\pi*k[/latex] k є Z [latex]x=(-1)^{k+1}*\frac{\pi}{24}+\frac{\pi*k}{4}[/latex] k є Z ответ: [latex](-1)^{k+1}*\frac{\pi}{24}+\frac{\pi*k}{4}[/latex], k є Z