Просклоняйте существительные знамя и путь и убедитесь что они являются разноскло

1)Родительный падеж-нет(чего?)знамЕни Предложный падеж-о знамЕни Это разносклоняемое существительное на -мя 2)Мы долго шли по путИ. По правилу окончания существительных во 2-ом склонении, дательном падеже(это уже зависит от предложения) надо писать букву Е, но слово путь является исключением, как и выше приведённое слово