Прямая проходит через точку (-1;2) и начало координат, пересекает окружность (x-7)^2+y^2-2y=124 в точках M и N. Найти периметр треугольника МОN, где О-центр окружности.

Найдем координаты центра окружности. (x-7)^2+y^2-2y=124 (x-7)^2+y^2-2y+1=125 (x-7)^2+(y-1)^2=5√5^2 Координаты центра равны  O (7;1). Так как  прямая проходит через точку   (-1;2)   и начало координат , найдем уравнение данной прямой  x-0/1 =y-0/0-2 y+2x=0 Так как прямая пересекает данную окружность, найдем координаты M и N {y+2x=0 {(x-7)^2+(y-1)^2=125 {y=-2x {[latex](x-7)^2+(-2x-1)^2=125\\ x^2-14x+49+4x^2+4x+1=125\\ 5x^2-10x-75=0\\ (x-3)(x+5)=0\\ x=3\\ x=-5\\ y=6\\ y=-10 [/latex] Найдем теперь длины сторон треугольника  MN=[latex] \sqrt{(3+5)^2+(10+6)^2} =8 \sqrt{5} [/latex] а две другие стороны это есть радиусы тогда периметр равен  P=[latex]8\sqrt{5}+10\sqrt{5}=18\sqrt{5}[/latex]