Прямые KL, MN и PQ пересекаются в точке А, угл KAM=90, угл КАР: MAQ=4 : 5. Один из образованныхуглов равен 80 гр, два другие относятся как 2 : 3. Найдите наименьший из углов : РAN, LAN и LAQ.

Очень нечетко сформулированное условие. При пересечении трех прямых образуется 3 пары равных между собой вертикальных углов. Так как угол КАМ равен 90°, то значит прямые КL и MN взаимно перпендикулярны. Поэтому ∠KAN=∠LAN=∠MAL=∠KAM=90°. Условие "угол КАР: MAQ=4 : 5" дано для того, чтобы знать, как провести прямую PQ. ( cм. рис. 1) Если PQ проведена так как на рисунке 1, обозначим ∠KAP=4x; ∠MAQ=5x, тогда ∠KAQ=4x-90°;∠MAP=5x-90°; ∠KAQ+∠KAM+∠MAP=180°; 4x-90°+90°+5x-90°=180°. 9x=270° x=30° ∠KAP=4·30°=120°; ∠MAQ=5·30°=150°; значит ∠МАР=∠QAN=30°;  ∠PАL=∠QAK=60° и ∠PАL:∠LАN=60°:90°=2:3 Условие "один из углов 80°" не выполняется. Если прямая PQ расположена так как на рисунке 2. Аналогично случаю 1 обозначим ∠KAP=4x; ∠MAQ=5x, получаем невозможное∠KAP=4·30°=120°, а на рисунке угол ∠KAP- острый . Требуется дополнительное условие. Оно есть   "один из углов 80°". Какой?  Если ∠KAP=80°, тогда ∠MAQ=100° а на рисунке 2, угол ∠MAQ=180°-10°=170°. Значит, нужен третий рисунок. ∠MAQ=80°,∠MAQ=5x.  х=16° ∠KAP=4x=4·16°=64° Но тогда не выполняется условие "два других относятся как 2:3".