Пускай в трапецию ABCD (основы AD и BC) вписана окружность радиуса r. В треугольники ABC и ACD вписаны окружности с радиусами r(abc) и r(acd) соответственно. Известно, что для радиусов выполняется r:r(abc):r(acd)=9:4:6. Найти с...

 Если не ошибаюсь , то решение примерно такое  Заметим что углы  [latex] \angle BCA= \angle CAD [/latex]   как на крест лежащие  Тогда как  [latex] S_{ABC} + S_{ACD} = S_{ABCD} \\ \angle BCA=y\\ \frac{BC*AC*siny}{2} + \frac{AD*AC*siny}{2} = S_{ABCD} [/latex]  Обозначим так же радиусы  как [latex]9x;4x;6x[/latex] ,   не обобщая общности , можно взять [latex]9;4;6[/latex]  Так как в трапеция вписана окружность [latex] AB+CD=BC+AD [/latex]                   [latex] AC*siny(BC+AD) = 18*(BC+AD)\\ AC*siny =18\\ [/latex]  С другой стороны площади треугольников через радиусы  [latex] S_{ABC}=(AB+BC+AC)*2 \\ S_{ACD}=(CD+AD+AC)*3[/latex]   Откуда    [latex] (AB+BC+AC)*2=9BC\\ (CD+AD+AC)*3=9AD [/latex]       [latex]AC=3.5*BC-AB \\ AC=2*AD-CD [/latex]     Положим что [latex]BC=x; AB=y ; AD=z; CD=n \\\\ [/latex]   Если выразить углы , из теоремы косинусов , соответственно из тех же треугольников  , получим       [latex]cosBCA = \frac{53*x-28*y}{28*x-8*y} \\ cosBCA = \frac{4*n-5*z}{2*n-4*z} [/latex]          Приравнивая    [latex] \frac{53*x-28*y}{28*x-8*y}= \frac{4*n-5*z}{2*n-4*z } \\ x+z= y+n \\, 3.5*x-y=2*z-n[/latex]     получим    [latex] x=\frac{4n}{5}\\ y=\frac{17*n}{15} \\ z=\frac{4n}{3}\\ n \neq 0[/latex]   Так как [latex] cosBCA=\frac{4}{5}\\ sinBCA=\frac{3}{5}\\ AC= 18*\frac{5}{3} = 30[/latex]   Откуда [latex]n=18[/latex]      То есть стороны равны     [latex] AB=\frac{17*18}{15} = \frac{102}{5} \\ BC=\frac{4*18}{5} = \frac{72}{5}\\ AD=24 \\ CD=18[/latex]