Пусть число x+1/x— целое. Для какого наименьшего количества целых чисел k из отрезка [−2014;2014] число x^k+1/x^k тоже является целым?

 Если х=1, то для любого К получаем целое число, т.е. 2014*2+1 значений К явлются решениями. Если х≠1, запишем условие х+1/х=n (n-целое), тогда для любого х = (n+(n²-4)⁰⁵)/2 величина х+1/х целое число  (n).  Среди этого множества х найдутся такие, для которых  х^k + 1/х^k  не является целым при любом к≠0. Однако при к=0 любое из этих значений- целое (х+1/х=2).  таким образом, наименьшее количество целых чисел k это 2 (к=0, k=1).