Пусть для любых значений аргумента, отличных от ну­ля, функция [latex]y=f(x)[/latex] удовлетворяет условию [latex]f(x)+2f\left( \frac{4}{x}\right) =x- \frac{5}{x} [/latex]. Найдите: а) f( 2 ) б) f(- 2 ); в) f( 1 ); г) f(x).

Если дано [latex]f(a)[/latex], то просто заменяем везде [latex]x[/latex] на [latex]a[/latex]: а) [latex]f(2): \\ f(2) + 2f(\frac{4}{2}) = 2 - \frac{5}{2} \\ f(2) + 2f(2) = -\frac{1}{2} \\ 3f(2) = -\frac{1}{2} \\ f(2) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \\ f(2) = -\frac{1}{6}[/latex] б) [latex]f(-2): \\ f(-2) + 2f(\frac{4}{-2}) = -2 - \frac{5}{-2} \\ f(-2) +2f(-2) = -2 + \frac{5}{2} \\ 3f(-2) = \frac{1}{2} \\ f(-2) = \frac{1}{6}[/latex] в) [latex]f(1): \\ f(1)+2f(\frac{4}{1}) = 1 - \frac{5}{1} \\ f(1) + 2f(4) = -4 \\ f(1) = -4 - 2f(4)[/latex] Как видим, в определении [latex]f(1)[/latex] есть [latex]f(4)[/latex]. Найдем [latex]f(4)[/latex]: [latex]f(4): \\ f(4) + 2f(\frac{4}{4}) = 4 - \frac{5}{4} \\ f(4) + 2f(1) = \frac{11}{4} \\ f(4) = \frac{11}{4} - 2f(1)[/latex] Как мы узнали ранее, [latex]f(1) = -4 - 2f(4)[/latex]. Подставим это значение: [latex]f(4) = \frac{11}{4} - 2f(1) \\ f(4) = \frac{11}{4} - 2(-4 - 2f(4)) \\ f(4) = \frac{11}{4} +8+4f(4) \\ f(4) - 4f(4) = \frac{11}{4} + 8 \\ -3f(4) = \frac{43}{4} \\ f(4) = \frac{43}{12} [/latex] Итак, [latex]f(4)[/latex] нашли, теперь подставим это сюда: [latex]f(1) = -4 - 2f(4) \\ f(1) = -4 -2 \cdot \frac{43}{12} \\ f(1) = -4 - \frac{43}{6} \\ f(1) = \frac{-24-43}{6} \\ f(1) = \frac{67}{6}[/latex] г) [latex]f(x) + 2f(\frac{4}{x}) = x - \frac{5}{x}[/latex] Отсюда: [latex]f(x) = x - \frac{5}{x} -2f(\frac{4}{x})[/latex] Или: [latex]f(x) = \frac{x^2 - (2f(\frac{4}{x}))x -5}{x}[/latex] Как видим, функция [latex]f(x)[/latex] задана рекуррентно, то есть в определии [latex]f(x)[/latex] содержится эта же функция [latex]f(\frac{4}{x})[/latex].