Пусть Т(х) – сумма всех простых чисел, меньших х. Найдите все корни уравнения Т(х)=х2(квадрат)/2 ?

Т(х) -целое число х2(квадрат)/2  что бы было целым х должно быть кратно 2, а единственное четное простое число это 2 соответственно х=2 проверяем 2=4/2 - верно ответ: х=2                

Пусть большее простое число из T(x) равно n.Сравним числа:n^2 и 2T(x),то есть квадрат наибольшего простого числа и удвоенную сумму простых чисел до n: Очевидно,что все простые числа,кроме 2 нечетные,а значит T(x) меньше суммы двойки и натуральных нечетных чисел от 1 до n(так как не все нечетные числа являются простыми). Рассмотрим данную сумму,члены которой,кроме двойки образуют арифметическую прогрессию. [latex]S=\frac{1+n}{2}*\frac{n+1}{2}+2=\frac{n^2+2n+9}{4}[/latex] Сравним 2S и n^2 [latex]\frac{n^2+2n+9}{2}\ \ ?\ \ n^2[/latex] [latex]n^2+2n+9\ \ ?\ \ 2n^2[/latex] [latex]0\ \ ?\ \ n^2-2n-9[/latex] Правая часть больше левой(нуля) при: [latex]n>1+\sqrt{10}[/latex] [latex]n>4[/latex] А так как S>T(X) и n^2>2S,то n^2>2T(x) Значит и x^2>2T(x) при n,указанном выше. Рассмотрим оставшиеся 2 варианта: n=2 n=3 [latex]n=2[/latex] [latex]2=\frac{x^2}{2}[/latex] [latex]x=2[/latex] [latex]n=3[/latex] [latex]2+3=\frac{x^2}{2}[/latex] [latex]x=\sqrt{10}[/latex] Ответ:[latex]x_1=2;x_2=\sqrt{10}[/latex]