Пусть x,y,z - произвольные натуральные числа такие, что x+y+z=100 . Найти максимальное значение выражения. xy+yz+xz . 

[latex]x+y+z=100\\ xy+yz+xz=max[/latex]  [latex](x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xz+2xy+2yz=100^2\\ x^2+y^2+z^2+2xz+2xy+2yz=100^2\\ [/latex] теперь так как  [latex]x^2+y^2 \geq 2xy\\ y^2+z^2 \geq 2yz\\ x^2+z^2 \geq 2zx[/latex] подставляя ее в уравнение  [latex]x^2+y^2+z^2+(x^2+y^2)+(y^2+z^2)+(x^2+z^2)=100^2\\ 3(x^2+y^2+z^2)=100^2\\ x^2+y^2+z^2=\frac{100^2}{3}[/latex] теперь найдем наше искомую величину    [latex]xz+xy+yz=\frac{100^2-\frac{100^2}{3}}{2}\\ xz+xy+yz=3333[/latex] берем только целую  часть так как у нас числа натуральные !