Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 3, а радиус окружности, которая касается гипотенузы и продолжений катетов за вершины острых углов, равен 18. Найти больший катет треугольника.

r=3, R=ОК=ОМ=18. СК=СМ=R=18. АК=АР и ВР=ВМ как касательные к окружности, проведённые из одной точки. Р(АВС)=АР+ВР+АВ+АС=АК+ВМ+АС+ВС=СК+СМ=2R=2·18=36. P=a+b+с ⇒ a+b=P-c=36-c, r=(a+b-c)/2 ⇒a+b=2r-c=6+c. 36-c=6+c, 2c=30, c=15. a+b=36-c=36-15=21 ⇒ b=21-a. По теореме Пифагора a²+b²=c², a²+(21-a)²=15², а²+441-42а+а²=225, 2а²-42а+216=0, решаем квадратное уравнение, получаем: а1=9, а2=12, b1=21-9=12, b2=21-12=9. Ответ: больший катет равен 12.