Расстояния от середины высоты правильной треугольной пирамиды до боковой грани и до бокового ребра равны 4 и sqrt(56) соответственно. Найдите объём пирамиды.

Пусть имеем правильную пирамиду АВСS, Проведём осевое сечение через ребро ВS. Получим треугольник ДВS, высота SО = Н в нём является высотой пирамиды, сторона SД - это апофема грани АСS. Из середины SО (пусть это точка М) проведём перпендикуляры на SД и SВ. Это будут заданные расстояния МЕ = 4 и МК = √56. По свойству высоты ВД = h равностороннего треугольника АВС она делится точкой О на части ОД = (1/3)h и ОВ = (2/3)h. Обозначим половину высоты Н за х, сторону основания за а. sinДSO = 4/x,  sinВSO = √56/х. Из точки О опустим перпендикуляр ОК1 на SВ, его длина равна 2МК = 2√56. Из треугольника ОК1В находим ОВ = ОК1/sinВSO или (2/3)h = 2√56/(√56/x). Отсюда h = 3x, ОД = х, ОВ = 2х. Из треугольника ДSO по Пифагору находим ДS = √(ОД²+SO²) = √(х²+(2х)²) = х√5. А так как sinДSO = 4/х = ДО/ДS = х/(х√5), то есть 4/х =1/√5. Отсюда х = 4√5, высота пирамиды Н = 2х = 8√5. Высота h = ВД = 3х =3*4√5 = 12√5. Теперь находим сторону основания: а = h/cos30° = 12√5/(√3/2) = 24√5/√3 = 8√15. Площадь АВС как равностороннего треугольника равна So = a²√3/4 = = 64*15√3/4 = 16*15√3 = 240√3. Объём пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)*240√3*8√5 = 640√15 ≈  2478,709 куб.ед.