Равнобедренный треугольник ABC с основанием АС вписан в окружность с центром О. Площадь треугольника ABC 4 корня из 2, угол В равен 45 градусов. Прямая, проходящая через точку О и середину BC, пересекает сторону AB в точке K. Н...

Так как   [latex]AB=BC[/latex]  То [latex]S=\frac{AB^2}{2}*sin45=4sqrt{2}\\ AB=4[/latex]  Докажем что треугольник  [latex]BKC[/latex] так же равнобедренный.  Радиус описанной окружности равен  [latex]AC=\sqrt{2*4^2-2*4^2*cos45}=4\sqrt{2-\sqrt{2}}[/latex]   [latex] R=\frac{4\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2sin45}=2\sqrt{4-2\sqrt{2}}[/latex]  Рассмотрим треугольник  [latex]BOM[/latex] , угол  [latex]OBM=\frac{45}{2}[/latex]  По теореме косинусов   [latex] OM=\sqrt{2\sqrt{4-2\sqrt{2}}^2+2^2-2*2*2\sqrt{4-2\sqrt{2}}*cos\frac{45}{2}} =2\sqrt{2}-2 [/latex]  То угол  [latex]BMO[/latex]  кратен [latex]\pi\*n-\frac{\pi}{2}<180\\ n=1\\ BOM=90а[/latex]  То есть угол  [latex]BKC=90а[/latex]  [latex]BC^2=2KB^2\\ KB=\sqrt{8}\\ S_{BCK}=\frac{KB^2}{2}=4[/latex]