Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC. а) Докажите, что высота пирамиды проведённая из точки A, делится плоскостью, проходящей через середины ребер AB, AC и SA, пополам. б) Найдите расстояние от вершины...

б) Искомое расстояние - длина отрезка АН, перпендикулярного к плоскости КМЕ.  Т.к. АМ=МS;  АЕ=ВЕ; АК=КС, то МК и МЕ – средние линии треугольников АМК и АМЕ.  ∆ КАЕ - равнобедренный, его высота АО равна половине высоты АТ треугольника АВС.  АТ по т. Пифагора из ∆ АТС=√(АС² -ТС² )=2√5 ∆ КМЕ - равнобедренный, его высоту МО найдем из прямоугольного треугольника МАО. АО=АТ:2=√5 МО=√(МА² +АО² )=5/2 В прямоугольном ∆ МАО отрезок  АН - высота, которая делит его на подобные треугольники, т. к. их острые углы равны (признак подобия прямоугольных треугольников).  Из подобия следует отношение: АН:АМ=АО:МО АН:[(√5):2]=√5: 5/2  ⇒ АН=1а) Так как пересекающиеся МК и МЕ соответственно параллельны пересекающимся SC и SB, то  плоскости МКЕ и CSB параллельны. АН ⊥плоскости КМЕ, следовательно, ее продолжение перпендикулярно плоскости CSB ( свойство прямой и параллельных плоскостей).МО - средняя линия ∆ SAT, поэтому делит высоту АР, проведенную из вершины А, пополам.