Реферат по геометрия все о треугольниках

Основные понятия.Треугольник – это фигура, состоящая из трех отрезков и трех точек, не лежащих на одной прямой.Отрезки называются сторонами, а точки – вершинами.Любая сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон, но больше их разности.a – b < c < a + b Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины  к противолежащей стороне (рис.1).Биссектриса треугольника – это отрезок, который делит угол вершины пополам и соединяет вершину с точкой на противолежащей стороне (рис.2).Медиана треугольника.Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (рис.3).Длину медианы можно вычислить по формуле:                                                                      2b2 + 2c2 – a2                                                            ma2 = ——————                                                                                4где ma – медиана, проведенная к стороне а.В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы:                                                                                      c                                                                            mc = —                                                                                      2где mc – медиана, проведенная к гипотенузе c (рис.6)Медианы треугольника пересекаются в одной точке (в центре масс треугольника) и делятся этой точкой в соотношении 2:1, отсчитывая от вершины. То есть отрезок от вершины к центру в два раза больше отрезка от центра к стороне треугольника.Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне и равна ее половине (рис.4).Сумма углов треугольника равна 180º.Внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных внутренних углов (рис.5).Внешний угол треугольника больше любого несмежного угла.    Прямоугольный треугольник.Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого есть прямой угол (рис.7).Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой. Две другие стороны называются катетами.  Равнобедренный треугольник.Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны (рис.8).Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья – основанием треугольника.В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. (В нашем треугольнике угол А равен углу C).В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно и биссектрисой, и высотой треугольника. Равносторонний треугольник.Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны (рис.9).Свойства равностороннего треугольника:1) все углы равны 60º;2) медианы, биссектрисы и высоты совпадают;3) медианы, биссектрисы и высоты соединяют вершины с серединами противолежащих сторон.Замечательные свойства треугольниковУ треугольников есть оригинальные свойства, которые помогут вам успешно решать задачи, связанные с этими фигурами. Некоторые из этих свойств изложены выше. Но повторяем их еще раз, добавив к ним несколько других замечательных особенностей:1) В прямоугольном треугольнике с углами 90º, 30º и 60º катет b, лежащий напротив угла в 30º, равен половине гипотенузы. А катет  a больше катета b в √3 раз (рис.6). К примеру, если катет b равен 5, то гипотенуза c обязательно равна 10, а катет а равен 5√3. 2) В прямоугольном равнобедренном треугольнике с углами 90º, 45º и 45º гипотенуза в √2 раз больше катета (рис.6). К примеру, если катеты равны 5, то гипотенуза равна 5√2.3) Средняя линия треугольника равна половине параллельной стороны (рис.4). К примеру, если сторона треугольника равна 10, то параллельная ей средняя линия равна 5. 4) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы (рис.7): mc =  с/2.5) Медианы треугольника, пересекаясь в одной точке, делятся этой точкой в соотношении 2:1. То есть отрезок от вершины к точке пересечения медиан в два раза больше отрезка от точки пересечения медиан к стороне треугольника (рис.3)6) В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы является центром описанной окружности.Признаки равенства треугольников.Первый признак равенства: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.Второй признак равенства: если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.Третий признак равенства: если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Неравенство треугольника.В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.