Решается через сумму арифметической прогрессии.. +...+ - вместо точек другие логарифмы подобные первым

[latex]log_{\sqrt{3}} x+log_{\sqrt[4] {3}} x+...+log_{\sqrt[16] {3}} x=36[/latex] [latex]log_{3^{\frac{1}{2}}} x+log_{3^{\frac{1}{4}}} x+...+log_{3^{\frac{1}{16}}} x=36[/latex] используем свойство логарифма [latex]log_{a^k} b^m=\frac{m}{k} log_a b[/latex] [latex]\frac{1}{\frac{1}{2}}log_3 x+\frac{1}{\frac{1}{4}}log_3 x+...+\frac{1}{\frac{1}{16}}log_3 x=36[/latex] [latex]2log_3 x+4log_3 x+....+16log_3 x=36[/latex] [latex](2+4+...+16)log_3 x=36[/latex] [latex]a_1=2;a_2=4 a_n=16; d=a_2-a_1=4-2=2[/latex] [latex]a_n=a_1+(n-1)*d[/latex] [latex]n=\frac{a_n-a_1}{d}+1=\frac{16-2}{2}+1=8[/latex] [latex]S_n=\frac{a_1+a_n}{2}*n[/latex] [latex]S_8=\frac{2+16}{2}*8=72[/latex] [latex]72log_3 x=36[/latex] [latex]log_3 x=36:72[/latex] [latex]log_3 x=\frac{1}{2}[/latex] [latex]x=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}[/latex] ответ: [latex]\sqrt{3}[/latex]