Решить неравенство [latex]\log_{x^2-x+1}(x^2+6x+8)+\log_{\frac{1}{x^2-x+1}}(x+2)\ \textless \ \frac{1}{\log_{5/2}(x^2-x+1)}[/latex]

[latex] \log_{x^2-x+1}(x^2+6x+8)+\log_{\frac{1}{x^2-x+1}}(x+2)\ \textless \ \frac{1}{\log_{ \frac{5}{2} }(x^2-x+1)}[/latex] Найдем ОДЗ: [latex]1) [/latex] [latex]x^2-x+1 \neq 1} [/latex] [latex]{{x^2-x \neq 0} [/latex] [latex]x(x-1) \neq 0[/latex] [latex]x \neq 0,[/latex]    [latex]x \neq 1[/latex] [latex]2)[/latex] [latex] x^{2} -x+1\ \textgreater \ 0[/latex] [latex] x^{2} -x+1=0[/latex] [latex]D=(-1)^2-4*1*1\ \textless \ 0[/latex] [latex]a=1\ \textgreater \ 0[/latex] парабола [latex]y=x^2-x+1[/latex] расположена над осью OX, т. е. [latex]y\ \textgreater \ 0[/latex] при любом значении x, поэтому данное неравенство верно при любых значениях x, т. е. [latex]x[/latex] ∈ [latex]R[/latex] [latex]3)[/latex] [latex] x^{2} +6x+8\ \textgreater \ 0[/latex] [latex]x^2+6x+8=0[/latex] [latex]D=6^2-4*1*8=4[/latex] [latex]x_1= \frac{-6+2}{2} =-2[/latex] [latex]x_2= \frac{-6-2}{2} =-4[/latex] [latex](x+2)(x+4)\ \textgreater \ 0[/latex] [latex]4) [/latex] [latex]log_{2.5}(x^2-x+1) \neq 0[/latex] [latex]log_{2.5}(x^2-x+1) \neq log_{2.5}1[/latex] [latex]x^2-x+1 \neq 1[/latex] [latex]x \neq 0,[/latex]   [latex]x \neq 1[/latex] [latex]5)[/latex] [latex]x+2\ \textgreater \ 0[/latex] [latex]x\ \textgreater \ -2[/latex] Отметим на числовой прямой и найдем общее решение ОДЗ:      +                    -                      + ----------(-4)---------------(-2)------------------- //////////////                         ///////////////// ------------------------------------(0)-----(1)--------- ///////////////////////////////////////////////////////// -------------------------------(-2)---------------------                                         ///////////////// [latex]x[/latex] ∈ [latex](-2;0)[/latex] ∪ [latex](0;1)[/latex] ∪ [latex](1;+[/latex] ∞ [latex])[/latex] [latex]\log_{x^2-x+1}(x^2+6x+8)+\log_{{(x^2-x+1)^{-1}}}(x+2)\ \textless \ {\log_{x^2-x+1}2.5}[/latex] [latex]\log_{x^2-x+1}(x^2+6x+8)-\log_{{x^2-x+1}}(x+2)\ \textless \ {\log_{x^2-x+1}2.5}[/latex] [latex]\log_{x^2-x+1}(x^2+6x+8)\ \textless \ {\log_{x^2-x+1}2.5}+\log_{{x^2-x+1}}(x+2)[/latex] [latex]\log_{x^2-x+1}(x^2+6x+8)\ \textless \ {\log_{x^2-x+1}[2.5(x+2)]}[/latex] [latex]\log_{x^2-x+1}(x^2+6x+8)\ \textless \ {\log_{x^2-x+1}(2.5x+5)}[/latex] [latex]1)[/latex] [latex] \left \{ {{0\ \textless \ x^2-x+1\ \textless \ 1} \atop {x^2+6x+8\ \textgreater \ 2.5x+5}}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{x^2-x+1\ \textgreater \ 0}\atop {x^2-x+1\ \textless \ 1}} \atop {x^2+6x+8\ \textgreater \ 2.5x+5}}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{x^2-x+1\ \textgreater \ 0}\atop {x^2-x\ \textless \ 0}} \atop {x^2+3.5x+3\ \textgreater \ 0}}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{x^2-x+1\ \textgreater \ 0}\atop {x(x-1)\ \textless \ 0}} \atop {x^2+3.5x+3\ \textgreater \ 0}}} \right. [/latex] [latex] x^{2} +3.5x+3=0[/latex] [latex]D=3.5^2-4*1*3=12.25-12=0.25[/latex] [latex]x_1= \frac{-3.5+0.5}{2}=-1.5 [/latex] [latex]x_2= \frac{-3.5-0.5}{2}=-2[/latex] [latex] x^{2} -x+1\ \textgreater \ 0[/latex]  ⇒ [latex]x[/latex] ∈ [latex]R[/latex]         +                              -               + -------------------------(0)-------(1)-------------                                 ///////////   +          -                          + -----(-2)-----(-1.5)------------------------------- ////////               ////////////////////////////// [latex]x[/latex] ∈ [latex](0;1)[/latex] [latex]2)[/latex] [latex]\left \{ {{x^2-x+1\ \textgreater \ 1} \atop {x^2+6x+8\ \textless \ 2.5x+5}}} \right.[/latex] [latex]\left \{ {{x^2-x\ \textgreater \ 0} \atop {x^2+3.5x+3\ \textless \ 0}}} \right.[/latex] [latex]\left \{ {{x(x-1)\ \textgreater \ 0} \atop {(x+1.5)(x+2)\ \textless \ 0}}} \right.[/latex]               +                                -                    + -----------------------------(0)-------------(1)-------------- ///////////////////////////////////                //////////////      +            -                              + ---------(-2)-------(-1.5)------------------------------               ////////// [latex]x[/latex] ∈ [latex](-2;-1.5)[/latex] Объединяем 1) и 2) случаи и получаем общее решение  неравенства: [latex]x[/latex] ∈ [latex](-2;-1.5)[/latex] ∪ [latex](0;1)[/latex] Найдем пересечение с ОДЗ: -------------------------(-2)--------------(0)-----(1)-----------------                               ///////////////////////////////////////////// --------------------------(-2)---(-1.5)----(0)-----(1)----------------                                 ///////             //////// Ответ: [latex](-2;-1.5)[/latex] ∪ [latex](0;1)[/latex]