Решить пример при помощи замены переменной в неопределенном интеграле\! ∫[latex] \sqrt{2x^2+1} xdx[/latex]

Выполним следующую подстановку: [latex]2 x^{2} +1 = t^{2} [/latex] Дальше возьмём дифференциалы от обеих частей данного равенства: [latex]d(2 x^{2} +1) = d (t^{2}) [/latex] [latex]4xdx = 2tdt \\ xdx = \frac{tdt}{2} \\ x^{2} = \frac{ t^{2}-1 }{2} [/latex] Теперь подставим выражения для xdx и x^2 в исходный интеграл: ∫[latex] \frac{ \sqrt{ t^{2} } tdt}{2}[/latex] = [latex] \frac{1}{2} [/latex] ∫[latex] t^{2} dt = [/latex] =[latex] \frac{1}{2} * \frac{1}{3} t^{3} = \frac{ t^{3} }{6} [/latex] Осталось только подставить вместо t его выражение через икс: [latex]t = \sqrt{2 x^{2} +1} [/latex] Результат окончательный: [latex] \frac{ ( \sqrt{2 x^{2} +1} )^{3} }{6} + C[/latex]