Решить уравнение 9(tg^4x+ctg^4x)=15(tgx+ctgx)^2+2. В ответ записать КОличество корней в промежутке [0; 2pi].

ОДЗ: x не= (п/2)+п*n, n целое и x не= п*m, m целое. tg^4x + ctg^4x = tg^4x + ctg^4x + 2 - 2 = (tg^4x + ctg^4x + 2*tg^2x*ctg^2x) -2= (tg^2x + ctg^2x)^2 -2 = (tg^2x + ctg^2x + 2 - 2)^2 -2 =  = ( (tgx+ctgx)^2 - 2)^2 -2; положим (tgx+ctgx)^2 = t, тогда tg^4x + ctg^4x = ( t -2)^2 -2; и 9*[ (t-2)^2 - 2] = 15*t + 2; 9*( t^2 - 4t + 4 - 2 ) = 15*t + 2; 9*t^2 - 36*t + 18 = 15t +2; 9*t^2 - (36+15)*t + 16 = 0; 9t^2 - 51t + 16 = 0; D = 51^2 - 4*9*16 = 2601 - 576 = 2025 = 45^2; t1 = (51-45)/18 = 6/18 = 1/3; t2 = (51+45)/18 = 96/18 = 48/9 = 16/3. 1). (tgx + ctgx)^2 = 1/3; tg^2 + (1/tgx)^2 + 2 = 1/3; tg^2 + (1/tgx)^2 + 5/3 = 0; 3*tg^4(x) + 3 + 5*tg^2(x) = 0; 3*tg^4(x) + 5*tg^2(x) + 3 = 0; положим z=tg^2(x), 3*z^2 + 5z + 3 = 0; D = 25 - 4*3*3 = 25 - 36<0; решений нет. 2) (tgx + ctgx)^2 = 16/3; tg^2x + (1/tg^2x) + 2 = 16/3; tg^2x + (1/tg^2x) + [ (6 - 16)/3] = 0; tg^2x + (1/tg^2x) - (10/3) = 0; 3*tg^4x + 3 - 10*tg^2 = 0; положим tg^2x = z; 3z^2 - 10z + 3 = 0; D = 100 - 4*3*3 = 10 - 36 = 64 = 8^2; z1 = (10-8)/6 = 2/6 = 1/3; z2 = (10+8)/6 = 18/6 = 3. 2.1) tg^2x = 1/3; tgx = 1/(sqrt(3)) или tg(x) = -1/sqrt(3). x1 =  2.2) tg^2x = 3; tgx = sqrt(3) или tg(x) = -sqrt(3). От нуля до 2п, это один оборот вокруг единичной окружности, посмотри прикрепленный рисунок на нем выделены решения, а также линия тангенсов. По рисунку видно, что решений 8.