Решить уравнение с параметром При каких а уравнение имеет ровно три корня [latex]\displaystyle \sqrt{3x^2+2ax+1}=x^2+ax+1 [/latex]

ОДЗ:  [latex]x^2+ax+1 \geq 0[/latex] Умножим обе части уравнения на [latex]2[/latex] [latex]2 \sqrt{x^2+2x^2+2ax+1} =2x^2+2ax+1+1[/latex] Пусть [latex]2x^2+2ax+1=t[/latex], тогда будем иметь [latex]2 \sqrt{x^2+t} =t+1[/latex] Возведем обе части в квадрат: [latex]4(x^2+t)=(t+1)^2\\ 4x^2+4t=t^2+2t+1\\ 4x^2=(t-1)^2\\ (2x)^2-(t-1)^2=0\\ (2x-t+1)(2x+t-1)=0[/latex] Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. [latex]2x-t+1=0[/latex]          и          [latex]2x+t-1=0[/latex] Обратная замена [latex]2x-(2x^2+2ax+1)+1=0\\ 2x-2x^2-2ax=0\\ 2x(1-x-a)=0\\ x_1=0\\ x_2=1-a[/latex] [latex]2x+t-1=0\\ 2x+2x^2+2ax+1-=0\\ 2x(1+x+a)=0\\ x_3=-1-a[/latex] Подставим: [latex]x=1-a[/latex] и [latex]x=-1-a[/latex] в неравенство[latex]x^2+ax+1 \geq 0[/latex] При [latex]x=1-a[/latex], решение будет [latex]a \in (-\infty;2][/latex] При [latex]x=-1-a[/latex], решение будет [latex][-2;+\infty)[/latex] Общее решение [latex]a \in [-2;2][/latex] Поскольку [latex]x=0[/latex], то при [latex]a = \pm 1[/latex] уравнение имеет 2 корня При [latex]a \in [-2;-1)\cup(-1;1)\cup(1;2].[/latex] уравнение имеет 3 корня