Решить уравнениеC_{n-1} ^{3} +C _{n} ^{3} =30

[latex]C_{n-1}^{3}+C_{n}^3=30 [/latex] Воспользуемся формулой биномального коэффициента: [latex]C_{n}^k= \frac{n!}{k!(n-k)!} [/latex] Тогда исходное уравнение будет иметь вид: [latex] \frac{(n-1)!}{3!(n-1-3)!}+ \frac{n!}{3!(n-3)!}=30[/latex] Домножим уравнение на 6 (оно же 3!), и сократим. [latex] \frac{(n-1)!}{3!(n-4)!}+ \frac{n!}{3!(n-3)!}=30 \\ (n-1)(n-2)(n-3)+n(n-1)(n-2)=180[/latex] Откроем скобки. [latex](n-1)(n-2)(n-3)+n(n-1)(n-2)=180 \\ (n-3)(n^2-3n+2)+n(n^2-3n+2)=180 \\ n^3-3n^2+2n-3n^2+9n-6 +n^3-3n^2+2n-180=0 \\ 2n^3-9n^2+13n-186=0[/latex] Воспользуемся формулой Кардано. Выполним замену [latex]n=x- \frac{b}{3a}=x- \frac{-9}{6}=x+\frac{3}{2} [/latex]. Теперь мы можем привести уравнение к каноническому виду [latex]x^3+px+q=0[/latex], воспользовавшись следующими формулами коэффициентов: [latex]p= \frac{3ac-b^2}{3a^2} = \frac{3*2*13-(-9)^2}{3*2^2}= \frac{78-81}{12}= \frac{-3}{12} = -\frac{1}{4} \\ q= \frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}= \frac{2*(-9)^3-9*2*(-9)*13+27*2^2*(-186)}{27*2^3}= \\ = \frac{-1458+2106-20088}{216} = \frac{-19440}{216}=90 \\ x^3 - \frac{1}{4}x-90=0 [/latex] Вычислим Q. [latex]Q= (\frac{p}{3})^3+ (\frac{q}{2})^2= (-\frac{1}{12})^3 + (\frac{90}{2})^2 = -\frac{1}{1728} +2025=\frac{3499199}{1728} [/latex] Так как Q больше нуля, вещественный корень у уравнения только один и вычисляется он по формуле: [latex]x= \sqrt[3]{ -\frac{q}{2}-\sqrt{Q}}+ \sqrt[3]{ -\frac{q}{2}+ \sqrt{Q} } \\ x=\sqrt[3]{-\frac{-90}{2}- \sqrt{ \frac{3499199}{1728}} }+\sqrt[3]{-\frac{-90}{2}+ \sqrt{ \frac{3499199}{1728}} }=4\frac {1}{2}[/latex] [latex]n=4\frac {1}{2}+1\frac {1}{2}=6[/latex] Проверка. [latex] \frac{(6-1)!}{3!(6-1-3)!}+ \frac{6!}{3!(6-3)!}=30 \\ \frac{120}{12}+ \frac{720}{36} =30 \\ 10+20=30[/latex] Ответ:n=6