Решить задачу, используя геометрическую вероятность. На сторонах AB и AC равностороннего треугольника случайным образом выбраны точки M и N. Какова вероятность того, что пло-щадь треугольника AMN больше площади треугольника NBC...

Пусть сторона треугольника равна [latex]a[/latex]. Обозначим отрезок AM как [latex]xa[/latex], где [latex]x\in[0;1][/latex] и отрезок AN как [latex]ya[/latex], где [latex]y\in[0;1][/latex]. Тогда сторона MB выразится как [latex](1-x)a[/latex], а сторона NC выразится как [latex](1-y)a[/latex]. Выразим площади треугольников: [latex]S_{AMN}= \frac{1}{2} \cdot AM\cdot AN\cdot \sin A=\frac{1}{2} \cdot xa \cdot ya \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} =\frac{ \sqrt{3} }{4}a^2xy \\\ S_{NBC}= \frac{1}{2} \cdot CN \cdot CB \cdot \sin C=\frac{1}{2} \cdot (1-y)a\cdot a \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} =\frac{ \sqrt{3} }{4}a^2(1-y)[/latex] Запишем неравенство, вероятность выполнения которого нужно найти: [latex]\frac{ \sqrt{3} }{4}a^2xy\ \textgreater \ \frac{ \sqrt{3} }{4}a^2(1-y) \\\ xy\ \textgreater \ 1-y \\\ xy+y\ \textgreater \ 1 \\ y(x+1)\ \textgreater \ 1 \\\ y\ \textgreater \ \frac{1}{x+1} [/latex] Графически это можно показать следующим образом. Всевозможные события - площадь единичного квадрата, где х и у принимают значения от 0 до 1. Благоприятные события - площадь той части этого квадрата, которая расположена выше графика функции [latex]y= \frac{1}{x+1}[/latex]. Численно эта площадь равна искомой вероятности. График функции [latex]y= \frac{1}{x+1}[/latex] получается из графика функции [latex]y= \frac{1}{x}[/latex] путем параллельного переноса на 1 единицу влево. Искомая фигура ограничена сверху графиком функции [latex]y=1[/latex], снизу - графиком функции [latex]y= \frac{1}{x+1}[/latex], слева и справа - прямыми [latex]x=0[/latex] и [latex]x=1[/latex] соответственно. Площадь такой фигуры определяется определенным интегралом [latex] \int\limits^1_0 (1- \frac{1}{x+1})\, dx [/latex]. Вычисляем: [latex]P(S_{AMN}\ \textgreater \ S_{NBC})= \int\limits^1_0 (1- \frac{1}{x+1})\, dx= (x- \ln|x+1|)|_0^1= \\\ =(1-\ln(1+1))-(0-\ln(0+1))=1-\ln2[/latex] Ответ: 1-ln2