Решите две задачи с объяснением. 1. Определите углы треугольника АВС, если известны координаты вершин: А(2,-1,3), В(1,1,1), С(0,0,5). 2. Покажите, что точки А(2,-1,-2), В(1,2,1), С(2,3,0) и D(5,0,-6) лежат на одной плоскости.

1. AB = [latex] \sqrt{(2-1)^2+(-1-1)^2+(3-1)^2} [/latex]= 3 BC = [latex] \sqrt{(0-1)^2+(0-1)^2+(5-1)^2}= 3\sqrt2[/latex] AC = [latex] \sqrt{(0-2)^2+(0+1)^2+(5-3)^2} [/latex]= 3 Треугольник со сторонами, которые относятся как 1:1:√2 -- прямоугольный равнобедренный, т. е. имеет углы: 90°, 45°, 45°. 2. Вектор АВ (-1, 3, 3). Вектор АС (0, 4, 2). Вектор АD (3, 1, -4). Смешанное произведение этих векторов: | -1  3   3 | |  0  4   2 | = -1·(4·(-4) - 1·2) + 3·(3·2 - 4·3) = 18 - 18 = 0 |  3  1  -4 | Смешанное произведение векторов АВ, AC и AD равно 0, следовательно, точки А, В, С и D лежат на одной плоскости.