Решите эти уравнения:

[latex]\begin{cases} & \text{ } x+3y-z=8 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\star)\\ & \text{ } 2x-y+4z=-1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\star\star)\\ & \text{ } -2x+2y+z=4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\star\star\star) \end{cases}[/latex] Из уравнения [latex](\star)[/latex] выразим переменную [latex]x \, :[/latex] [latex]\begin{cases} & \text{ } x=8-3y+z \\ & \text{ } 2x-y+4z=-1 \\ & \text{ } -2x+2y+z=4 \end{cases}[/latex] Подставим вместо переменной [latex]x[/latex] в уравнение [latex](\star\star)[/latex] и [latex](\star\star\star)[/latex] [latex]\begin{cases} & \text{ } 2(8-3y+z)-y+4z=-1 \\ & \text{ } -2(8-3y+z)+2y+z=4 \end{cases}[/latex] Раскроем скобки и приводим подобные слагаемые: [latex]\begin{cases} & \text{ } -6y+2z+16-y+4z=-1 \\ & \text{ } 6y-2z-16+2y+z=4 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } -7y+6z=-17 \\ & \text{ } 8y-z=20\,\,\,\,\,\,\,\,\, (*) \end{cases}[/latex] Из уравнения [latex](*)[/latex] выразим переменную [latex]z\, :[/latex] [latex]\begin{cases} & \text{ } -7y+6z=-17 \\ & \text{ } z= 8y-20 \end{cases}[/latex] Подставим переменную [latex]z\, :[/latex] [latex]-7y+6\cdot(8y-20)=-17\\ -7y+48y-120=-17\\ 41y=103\\ \\ y= \dfrac{103}{41} [/latex] Осталось найти переменные [latex]x[/latex] и [latex]z[/latex] : [latex]z=8y-20=8\cdot\dfrac{103}{41} -20=\dfrac{8\cdot103}{41} -\dfrac{20\cdot 41}{41} = \dfrac{4}{41} [/latex] [latex]x=-3y+z+8=-3\cdot\dfrac{103}{41} +\dfrac{4}{41} +8=\dfrac{23}{41} [/latex] Ответ: [latex]\left(\dfrac{23}{41} ;\dfrac{103}{41} ;\dfrac{4}{41} \right).[/latex] [latex]\begin{cases} & \text{ } -x+4y-z=5 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ & \text{ } 2x-2y+3z=-3\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\ & \text{ } -2x+y+2z=2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\end{cases}[/latex] Из уравнения [latex](1)[/latex] выразим переменную [latex]x:[/latex] [latex]\begin{cases} & \text{ } x=-5+4y-z \\ & \text{ } 2x-2y+3z=-3 \\ & \text{ } -2x+y+2z=2 \end{cases}[/latex] В уравнении [latex](2)[/latex] и [latex](3)[/latex]подставим вместо переменной [latex]x[/latex] [latex]\begin{cases} & \text{ } 2(4y-z-5)-2y+3z=-3 \\ & \text{ } -2(4y-z-5)+y+2z=2 \end{cases}[/latex] Раскрываем скобки и приводим подобные: [latex]\begin{cases} & \text{ } 8y-2z-10-2y+3z=-3 \\ & \text{ } -8y+2z+10+y+2z=2 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } 6y+z=7 \,\,\,\,\,\,(**)\\ & \text{ } -7y+4z=-8 \,\,\,\,\,(***) \end{cases}[/latex] Из уравнения [latex](**)[/latex] выразим переменную [latex]z[/latex] и подставим в уравнение [latex](***):[/latex] [latex]\begin{cases} & \text{ } z=-6y+7 \\ & \text{ } -7y+4(-6y+7)=-8 \end{cases}\\ \\ -7y-24y+28=-8\\ -31y=-36\\ y= \dfrac{36}{31} [/latex] Найдем переменные [latex]x[/latex] и [latex]z:[/latex] [latex]z=-6y+7=-6\cdot \dfrac{36}{31}+7=- \dfrac{6\cdot36}{31} +\dfrac{7\cdot 31}{31}=\dfrac{1}{31}[/latex] [latex]x=4y-z-5=4\cdot \dfrac{36}{31}-\dfrac{1}{31}-5=-\dfrac{12}{31}[/latex] Ответ: [latex]\left(-\dfrac{12}{31};\dfrac{36}{31};\dfrac{1}{31}\right).[/latex]