Решите неравенство arccosx больше arctgx

Область определения неравенства - отрезок [-1, 1] Неравенство заведомо выполняется, если x < 0 (т.к. арккосинус принимает только значения из промежутка (pi/2, pi], а тангенс отрицателен) Остаются только x из отрезка [0, 1]. Применим к обеим частям неравенства sin (обе части гарантированно лежат в промежутке [0, pi/2], на котором функция синус растет. Поэтому большим значениям аргумента синуса соответствуют большие значения, и знак менять не надо) sin(arccos x) = sqrt(1 - x^2) sin(arctg x) = x / sqrt(1 + x^2) (Обе формулы получаются путем применения основного тригонометрического тождества - первая как решение задачи "найдите sin(alpha), если cos(alpha)=x и 0<=alpha<=pi/2", а вторая - "найдите sin(alpha), если tg(alpha)=x и 0<=alpha<=pi/2") sqrt(1 - x^2) > x / sqrt(1 + x^2) -- можно домножить на положительный знаменатель sqrt(1 - x^4) > x -- возводим в квадрат. Обе части положительны, равносильность не нарушается 1 - x^4 > x^2 Замена: x^2 = t; 0 <= t <= 1 1 - t^2 > t t^2 + t - 1 < 0 0 <= t <= (sqrt(5) - 1)/2 0 <= x <= sqrt((sqrt(5) - 1)/2) Учитывая полученный ранее отрезок [-1, 0), получаем Ответ.  [latex]-1 \leqslant x\leqslant \sqrt{\dfrac{\sqrt5 - 1}2} [/latex]