Решите пожалуйста систему уравнений tgx*tgy=1/3 sinx*siny=1/4

{ tg x*tg y = 1/3 { sin x*sin y = 1/4 Преобразуем так { sin x/cos x*sin y/cos y = (sin x*sin y)/(cos x*cos y) = 1/3 { sin x*sin y = 1/4 Отсюда { sin x*sin y = 1/4 { cos x*cos y = ( sin x*sin y ) / (1/3) = (1/4) / (1/3) = 3/4 При этом мы знаем, что sin^2 y + cos^2 y = 1; cos y = √(1 - sin^2 y) sin y = 1/(4sin x); cos y = √(1 - 1/(16sin^2 x)) = √(16sin^2 x - 1) / (4sin x) Подставляем во 2 уравнение cos x* √(16sin^2 x - 1) / (4sin x) = 3/4 Умножаем все на 4 tg x* √(16sin^2 x - 1) = 3  √(16sin^2 x - 1) = 3/tg x = 3ctg x 16sin^2 x = 1 + 9ctg^2 x Есть формула sin^2 a = 1/(1 + ctg^2 a) Подставляем 16 / (1 + ctg^2 x) = 1 + 9ctg^2 x 16 = (1 + 9ctg^2 x)(1 + ctg^2 x) Замена ctg^2 x = t >= 0 при любом х 16 = (1 + 9t)(1 + t) = 1 + 10t + 9t^2 9t^2 + 10t - 15 = 0 D/4 = 5^2 - 9(-15) = 25 + 135 = 160 = (4√10)^2 t1 = (-5 - 4√10)/9 < 0 t2 = (-5 + 4√10)/9 = ctg^2 x 1 + ctg^2 x = 1 + (4√10 - 5)/9 = (9 + 4√10 - 5)/9 = (4√10 + 4)/9 sin^2 x = 1/(1+ctg^2 x) = 9/(4(√10+1)) = 9(√10-1)/(4(10-1)) = (√10-1)/4 sin x = √(√10 - 1) / 2 x = (-1)^n*arcsin [ √(√10 - 1) / 2 ] + pi*n sin y = 1/(4sin x) = 2/(4√(√10 - 1)) = 1/(2√(√10 - 1)) = √(√10 - 1)/(2(√10 - 1)) y = (-1)^n*arcsin [ √(√10 - 1)/(2(√10 - 1)) ] + pi*n