Решите пожалуйста. Заранее огромное спасибо. Решите дифферационное уравнения и найдите частные решения(частные интегралы),удовлетворяющие данным условиям: 3e^x tgy cos^2y dx-(1+e^x)dy=0,y=π/4,при х=0

Разрешим наше дифференциальное уравнение относительно [latex]y'[/latex] [latex] \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3e^x\cos y\sin y}{e^x+1} [/latex] - уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: [latex] \dfrac{1}{\cos y\sin y} \cdot dy= \dfrac{3e^x}{e^x+1}\cdot dx[/latex] - уравнение с разделёнными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения: [latex]\displaystyle \int\limits {\dfrac{1}{\cos y\sin y}} \, dy= \int\limits { \dfrac{3e^x}{e^x+1}} \, dx [/latex] Решим интеграл в левой части(методом неопределённых коэффициентов): [latex]\displaystyle \int\limits { \frac{1}{\cos y\sin y} } \, dy=\bigg\{\sin y= u;\,\,\,du=\cos y\,\, dy\bigg\}=\int\limits { \frac{1}{u-u^3} } \, du=\\ \\ \\ =\int\limits {\bigg( \frac{A}{u} + \frac{B}{u+1}+ \frac{C}{1-u} \bigg)} \, du\,\, \boxed{=}[/latex] [latex]\displaystyle \frac{1}{u-u^3} = \frac{A(1-u^2)+Bu(1-u)+Cu(1+u)}{u-u^3} \\ \\ \\ 1=A(1-u^2)+Bu(1-u)+Cu(1+u)\\ u^0\, :\,\, 1=A\\ u^1\, :\,\, 1=2C\,\,\, \Rightarrow C= \frac{1}{2} \\ u^{-1}\, :\,\, 1=-2B\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\, B=- \frac{1}{2} [/latex] [latex]\displaystyle\boxed{=}\,\,\int\limits { \frac{1}{u} } \, du- \frac{1}{2} \int\limits { \frac{1}{u+1} } \, du+ \frac{1}{2} \int\limits { \frac{1}{1-u} } \, du\\ \\ \\ = \ln|u|- \frac{1}{2}\ln|u+1|+ \frac{1}{2} \ln|1-u|+C=\ln\bigg| \frac{\sin y}{\cos y} \bigg|+C[/latex] Итак, получим: [latex]\displaystyle \ln\bigg| \frac{\sin y}{\cos y}\bigg|=\ln\bigg|C\cdot(e^x+1)^3\bigg| [/latex] [latex]tgy=C\cdot (e^x+1)^3[/latex] - общий интеграл. Найдем частное решение задачи Коши: [latex]tg\bigg( \dfrac{\pi}{4}\bigg) =C\cdot \bigg(e^0+1\bigg)^\bigg{3}\\ \\ \\ 1=C\cdot 2^3\\ \\ C= \dfrac{1}{8} [/latex] [latex]\boxed{tg y=\dfrac{1}{8} \cdot\bigg(e^x+1\bigg)^\bigg{3}}[/latex] - частное решение.