Решите пример при помощи метода интегрирования определенного интеграла

[latex] \int\limits^{e}_1\; (x+1)lnx\, dx=[\; u=lnx\; ,\; du=\frac{dx}{x}\; ,\; dv=(x+1)dx\; ,\\\\v=\frac{(x+1)^2}{2}\; ]= \frac{(x+1)^2}{2}\cdot lnx\Big |_1^{e}- \int\limits^{e}_1\; \frac{(x+1)^2}{2x}dx=\\\\= \frac{(e+1)^2}{2}\cdot lne-0- \frac{1}{2}\int\limits^{e}_1\; \frac{x^2+2x+1}{x} dx= \frac{(e+1)^2}{2} - \frac{1}{2} \int\limits^{e}_1\; (x+2+\frac{1}{x})dx=\\\\= \frac{(e+1)^2}{2} - \frac{1}{2} \cdot ( \frac{x^2}{2}+2x+ln|x|)\Big |_1^{e} = \frac{(e+1)^2}{2} - \frac{1}{2}\cdot (\frac{e^2}{2} +2e+lne-[/latex] [latex]-(\frac{1}{2}+2+0))= \frac{1}{2}\cdot (e^2+2e+1) - \frac{e^2}{4}-e-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\\\\=\frac{e^2}{4}+\frac{5}{2}[/latex]