Решите систему уравнений: [latex] \left \{ {{(x+y)(x+y-4)=-4,} \atop {(x^2+y^2)xy=-160}} \right. [/latex]

Если в каждом из уравнений заменить x на y, а y на x система от этого не изменится. Такие системы называют симметричными. Решаются они заменой x+y=t, xy=v. Значит x²+y²=(x+y)²-2xy=t²-2v. Получаем систему: [latex] \left \{ {{t^2-4t=-4} \atop {t^2v-2v^2=-160}} \right. \\ \left \{ {{(t-2)^2=0} \atop {t^2v-2v^2=-160}} \right. \\ \\ \left \{ {{t=2} \atop {4v-2v^2=-160}} \right. \\ 2v^2-4v-160=0 \\ v=-8, v=10 [/latex] Теперь решаем две элементарные системы: {x+y=2 {xy=-8  и  {x+y=2 {xy=10 Первая система имеет решения: (-2; 4), (4; -2). Вторая система не имеет решений.