Решите следующее задание: 1) Какую кратность имеет корень 2 для многочлена P(x)=x^5-5x^4+7x^3-2x^2+4x-8

Если [latex]a[/latex] – есть целый корень кратности [latex]k[/latex] многочлена [latex]P(x)[/latex], то многочлен будет делиться нацело на [latex](x - a)^k[/latex] и не будет делиться нацело на [latex](x - a)^{k + 1}[/latex] (это следует из теоремы Безу). Свободный член многочлена делится на все целые корни уравнения (это следует из теоремы Безу). Следовательно, если корень [latex]a[/latex] является целым корнем многочлена, то свободный его член (равный [latex]P(0)[/latex]) должен делиться на [latex]a^k[/latex]. Число [latex]-8[/latex] делится нацело на [latex]2^3 = 8[/latex] (на число [latex]2^4 = 16[/latex] нацело не делится): значит кратность корня [latex]2[/latex] не может превышать [latex]3[/latex]. Сперва убедимся, что [latex]2[/latex] вообще является корнем этого многочлена: [latex]P(2) = 32 - 5*16 + 7*8 - 2*4 + 4*2 - 8 = 0[/latex] Является, т.к. при подстановке многочлен обращается в ноль. Поделим многочлен [latex]P(x)[/latex] на [latex](x - 2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8[/latex] – если поделится, то корень 2 имеет кратность [latex]3[/latex]: [latex]P(x) = x^5 - 5x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 4x - 8[/latex] [latex]\begin{array}{cccccc@{\;}|cccc} x^5&-5x^4& +7x^3 & -2x^2&+4x&-8&x^3& - 6x^2&+12x& -8\\ \cline{7-10} x^5&-6x^4& +12x^3& -8x^2&&&x^2& + x& +1& \\ \cline{1-4} &x^4&-5x^3&+6x^2&+4x&-8&&&&\\ &x^4&-6x^3&+12x^2&-8x&&&&&\\ \cline{2-5} &&x^3&-6x^2&+12x&-8&&&&\\ &&x^3&-6x^2&+12x&-8&&&&\\ \cline{3-6} &&&&&0&&&&\\ \end{array}[/latex] Т.к. деление выполнилось нацело, то мы можем сказать, что корень имеет кратность [latex]3[/latex] (из-за того, что свободный член не делится на [latex]2^4[/latex] нам не надо проверять делимость многочлена на [latex](x - 2)^4[/latex] ). Если бы деление нацело на [latex](x - 2)^3[/latex] не вышло, нам пришлось бы делить многочлен на [latex](x - 2)^2[/latex] и т.д. Ответ: [latex]2[/latex] корень [latex]P(x)[/latex] кратности [latex]3[/latex].