Решите уравнение, используя введение новой переменной: [latex] \frac{12}{x^2-2x+3} = x^2-2x-1 [/latex]

Пусть (x^2-2x-1)= a, тогда 12/(а+4) = а; а^2+4а-12=0; Д= 16+48 =8^2; a = (-4-8)/2 или а=(-4+8)/2; а=-6 или а=2; обратная замена: x^2-2x-1 = -6 или x^2-2x-1= 2; x^2-2x+5=0 или x^2-2x-3=0; для первого уравнения решений нет; для второго х=-1 или х=3; ответ: x =-1 или х=3.

[latex]\frac{12}{x^2-2x+3}=x^2-2x-1,[/latex] ОДЗ: [latex]x^2-2x+3\ne0,\\x^2-2x+3=0,\\D=(-2)^2-4\cdot1\cdot3=4-12=-8\ \textless \ 0\ \Longrightarrow[/latex] нет таких [latex]x\ \to\ x\in R.[/latex] Пусть [latex]x^2-2x=t,[/latex] тогда [latex]\frac{12}{t+3}=t-1,[/latex] [latex]\frac{12}{t+3}-t+1=0,\\\\\frac{12-t(t+3)+t+3}{t}=0,\\\\\frac{12-t^2-3t+t+3}{t}=0,\\\\\frac{-t^2-2t+15}{t}=0,\\\\ -t^2-2t+15=0,\\D=(-2)^2-4\cdot(-1)\cdot15=4+60=64,\\\\t_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{64}}{-2}=\frac{2\pm8}{-2}=-1\mp4,\\t_1=-1-4=-5,\\t_2=-1+4=3.[/latex] [latex] 1)\ x^2-2x=-5,\\x^2-2x+5=0,\\D=(-2)^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16\ \textless \ 0[/latex] нет действительных корней; [latex]2)\ x^2-2x=3,\\x^2-2x-3=0,\\D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16,\\\\x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm4}{2}=1\pm2,\\x_1=1+2=3,\\x_2=1-2=-1.[/latex] Ответ: [latex]x_1=3,\ x_2=-1.[/latex]