Решите уравнение: sin4x+√3sin3x+sin2x=0

[latex]\sin4x+ \sqrt{3} \sin3x +\sin2x=0\\ 2\sin2x\cos2x+\sqrt{3} \sin3x+\sin2x=0\\ 4\sinx\cos x(1-2\sin^2x)+\sqrt{3} (3\sin x-4\sin^3x)+2\sin x\cos x=0\\ 4\sin x\cos x(1-2\sin^2x)+3\sqrt{3} \sin x-4\sqrt{3} \sin^3x+2\sinx \cos x=0\\ 4\sin x| \sqrt{1-\sin^2x}|(1-2\sin^2x)+3\sqrt{3} \sin x-4\sqrt{3} \sin^3x+2| \sqrt{1-\sin^2x} |=0[/latex]  Пусть [latex]\sin x=t\,\,(|t| \leq 1)[/latex] тогда получаем [latex]4t| \sqrt{1-t^2} |(1-2t^2)+3\sqrt{3} t-4\sqrt{3} t^3+2t| \sqrt{1-t^2}|=0 [/latex] ОДЗ: [latex]1-t^2 \geq 0[/latex] [latex] \left[\begin{array}{ccc}t=0\\ 4 \sqrt{1-t^2}(1-2t^2)+3\sqrt{3} -4\sqrt{3} t^2+2 \sqrt{1-t^2}=0 \end{array}\right[/latex] Пусть [latex] \sqrt{1-t^2} =z(z \geq 0)[/latex] [latex]4z(1-2t^2)+3\sqrt{3} -4\sqrt{3} t^2+2z=0\\ -8zt^2+4z+3\sqrt{3} -4\sqrt{3} t^2+2z=0\\ -8zt^2-4\sqrt{3} t^2+6z+3\sqrt{3} =0\\ - \frac{4}{3}t^2(6z+3\sqrt{3} )+6z+3\sqrt{3} =0\\ (6z+3\sqrt{3} )(- \frac{4}{3}t^2+1)=0 [/latex] Произведение равно нулю, значит возвращаемся к замене от z  [latex]6z+3\sqrt{3} =0\\ z=- \frac{\sqrt{3} }{2} \notin (z \geq 0)[/latex] [latex]- \frac{4}{3}t^2+1=0\\ t^2= \frac{3}{4}\\ t=\pm \frac{ \sqrt{3} }{2} [/latex] Возвращаемся к замене от t [latex]\sin x=0\\ x=\pi k,k \in Z\\ \\ \sin x=\frac{ \sqrt{3} }{2} \\ x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{3}+ \pi k,k \in Z\\ \\ \sin x=-\frac{ \sqrt{3} }{2} \\ x= (-1)^{k+1}\cdot \frac{\pi}{3}+ \pi k,k \in Z[/latex]

(sin4x+sin2x)+√3sin3x=0 2sin3xcosx+√3sin3x=0 sin3x(2cosx+√3)=0 sin3x=0⇒3x=πn⇒x=πn/3 cosx=-√3/2⇒x=+-5π/6+2πn