Решите уравнение: (x/(x-1))^2 + (x/(x+1))^2 = 10/9 

[latex](\frac{x}{x-1})^2+(\frac{x}{x+1})^2=\frac{10}{9}[/latex] [latex]\frac{x^2(x+1)^2+x^2(x-1)^2}{(x-1)^2(x+1)^2}=\frac{10}{9} [/latex] [latex]9x^2(x^2+2x+1+x^2-2x+1)=10(x-1)^2(x+1)^2[/latex] [latex]9x^2(2x^2+2)=10(x^2-1)^2[/latex] [latex]18x^4+18x^2=10x^4-20x^2+10[/latex] [latex]8x^4+38x^2-10=0[/latex] Произведём замену: [latex]x^2=t [/latex] [latex]8t^2+38t-10=0[/latex] [latex]t^2+4,75t-1,25=0[/latex] по теореме Виета: [latex]t_1=-5;t_2=0,25[/latex] Сделаем обратную замену: [latex]x^2=-5[/latex] нет корней [latex]x^2=0,25[/latex] [latex]x_1=-0,5;x_2=0,5[/latex] Ответ: -0,5; 0,5.  

[latex](\frac{x}{x-1})^{2}+(\frac{x}{x+1})^{2}=\frac{10}{9}[/latex]   [latex]\frac{x^{2}}{(x-1)^{2}}+\frac{x^{2}}{(x+1)^{2}}=\frac{10}{9}[/latex]   Отметим ОДЗ. [latex]\left \{ {{(x-1)^{2}\neq0} \atop {(x+1)^{2}\neq0}} \right[/latex]   [latex]\left \{ {{x\neq1} \atop {x\neq-1}} \right[/latex]   [latex]\frac{x^{2}}{x^{2}-2x+1}+\frac{x^{2}}{x^{2}+2x+1}=\frac{10}{9}[/latex] /·[latex]9(x^{2}-2x+1)(x^{2}+2x+1)[/latex]   [latex]9x^{2}(x^{2}+2x+1)+9x^{2}(x^{2}-2x+1)=10(x^{2}+2x+1)(x^{2}-2x+1)[/latex]   [latex]9x^{4}+18x^{3}+9x^{2}+9x^{4}-18x^{3}+9x^{2}=10(x^{4}-2x^{3}+x^{2}+2x^{3}-4x^{2}+2x+x^{2}-2x+1)[/latex]   группируем [latex](9x^{4}+9x^{4})+(18x^{3}-18x^{3})+(9x^{2}+9x^{2})=10(x^{4}+(-2x^{3}+2x^{3})+(x^{2}-4x^{2}+x^{2})+(2x-2x)+1)[/latex]   [latex]18x^{4}+18x^{2}=10(x^{4}-2x^{2}+1)[/latex]   [latex]18x^{4}+18x^{2}=10x^{4}-20x^{2}+10[/latex]   перенесём всё в левую часть и приравняем уравнение к нулю, при этом не забываем сменить знаки на противоположные [latex]18x^{4}+18x^{2}-10x^{4}+20x^{2}-10=0[/latex]   группируем [latex](18x^{4}-10x^{4})+(18x^{2}+20x^{2})-10=0[/latex]   [latex]8x^{4}+38x^{2}-10=0[/latex]   Произведём замену переменных. Пусть [latex]y=x^{2}[/latex]   В результате замены переменных получаем вспомогательное уравнение.   [latex]8y^{2}+38y-10=0[/latex]   Cчитаем дискриминант:   [latex]D=38^{2}-4\cdot8\cdot(-10)=1444+320=1764[/latex]   Дискриминант положительный   [latex]\sqrt{D}=42[/latex]   Уравнение имеет два различных корня:   [latex]y_{1}=\frac{-38+42}{2\cdot8}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}=0,25[/latex]   [latex]y_{2}=\frac{-38-42}{2\cdot8}=\frac{-80}{16}=-5[/latex]   Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи. Случай 1   [latex]x^{2}=0,25[/latex]   [latex]x_{1}=\sqrt{0,25}=0,5[/latex]   [latex]x_{2}=-\sqrt{0,25}=-0,5[/latex]   Случай 2   [latex]x^{2}=-5[/latex]   нет корней   Произведём проверку ОДЗ.   [latex]\left \{ {{0,5\neq1} \atop {0,5\neq-1}} \right[/latex]   удовлетворяет ОДЗ   [latex]\left \{ {{-0,5\neq1} \atop {-0,5\neq-1}} \right[/latex]   удовлетворяет ОДЗ Ответ: [latex]x_{1}=0,5[/latex]; [latex]x_{2}=-0,5[/latex]