Решите задачу: Начиная с числа 1, записали подряд все натуральные числа до 100 включительно и получили запись натурального числа M. Найдите остаток, который получится при делении числа M на 9.

Число, равное сумме цифр некоторого числа Х, дает при делении на 9 такой же остаток, как и само число Х. Найдем сумму цифр числа М. Числа от 1 до 9 встречаются в разряде единиц 10 раз: от 1 до 9, от 11 до 19, ..., от 91 до 99. Числа от 1 до 9 встречаются в разряде десятков 10 раз: от 10 до 19, от 20 до 29, ..., от 90 до 99. Число 1 встречается один раз в разряде сотен в числе 100. [latex]10\cdot(1+2+...+9)+10\cdot(1+2+...+9)+1= \\\ =20\cdot(1+2+...+9)+1=20\cdot45+1=900+1[/latex] Рассмотрим получившуюся сумму. Очевидно, что число 900 делится на 9 без остатка, а число 1 при делении на 9 дает остаток 1. Ответ: 1